$$\sum \sqrt[3]{a}+5\geq \prod \left ( a+b \right )$$
#1
Đã gửi 02-02-2013 - 11:09
$$\sum \sqrt[3]{a}+5\geq \prod \left ( a+b \right )$$
-----------------------------------------------------
#2
Đã gửi 03-02-2013 - 08:35
BĐ: Cho $a,b,c$ dương thoả $a+b+c=3$. Khi đó $\sum \sqrt[3]{a}\geq \sum ab$
C/minh: Áp dụng BĐT Holder
$$\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right )^{3}\left ( \sum a \right )^{5}\geq \left ( \sum a^{\frac{3}{4}} \right )^{8}$$
Ta sẽ c/minh
$$\left ( \sum a^{\frac{3}{4}} \right )^{8}\geq 3^{5}\left ( \sum ab \right )^{3}$$
Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\sqrt[4]{b}=y,\sqrt[4]{c}=z$. Do BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hoá cho $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Ta cần c/minh:
$$9\geq 3\sum x^{4}y^{4}$$
Theo AM-GM thì
$$3\sum x^{4}y^{4}\leq \sum x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3}+1)$$
nên ta chỉ cần c/minh
$$9\geq \sum x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3}+1)$$
và đây chính là Schur.
Trở lại bài toán.
Sử dụng BĐ, ta chỉ cần c/minh
$$5+r\geq 2q$$
$\bullet q\leq \frac{9}{4}$. BĐT hiển nhiên đúng.
$\bullet \frac{9}{4}\leq q\leq 3$.
Theo Schur ta có
$$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}= \frac{4q-9}{3}$$
$$\Rightarrow 5+r\geq 5+\frac{4q-9}{3}\geq 2q$$
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- thanhdotk14 yêu thích
#3
Đã gửi 17-05-2021 - 19:18
Chứng minh rằng: Với bộ số $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$ thì:
$$\sum \sqrt[3]{a}+5\geq \prod \left ( a+b \right )$$
Lời giải.
Ta có: $a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)^3\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)=27-(a^3+b^3+c^3)$
Như vậy ta cần chứng minh: $3\sqrt[3]{a}+3\sqrt[3]{b}+3\sqrt[3]{c}+15\geqslant 27-(a^3+b^3+c^3)$
$\Leftrightarrow (a^3+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a})+(b^3+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b})+(c^3+\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{c})\geqslant 12$
Bất đẳng thức cuối đúng theo $\text{AM-GM}$ nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh