Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sum \sqrt[3]{a}+5\geq \prod \left ( a+b \right )$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
Chứng minh rằng: Với bộ số $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$ thì:
$$\sum \sqrt[3]{a}+5\geq \prod \left ( a+b \right )$$

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#2
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
Trước tiên ta c/minh bổ đề sau:
BĐ: Cho $a,b,c$ dương thoả $a+b+c=3$. Khi đó $\sum \sqrt[3]{a}\geq \sum ab$
C/minh: Áp dụng BĐT Holder
$$\left ( \sum \sqrt[3]{a} \right )^{3}\left ( \sum a \right )^{5}\geq \left ( \sum a^{\frac{3}{4}} \right )^{8}$$
Ta sẽ c/minh
$$\left ( \sum a^{\frac{3}{4}} \right )^{8}\geq 3^{5}\left ( \sum ab \right )^{3}$$
Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\sqrt[4]{b}=y,\sqrt[4]{c}=z$. Do BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hoá cho $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Ta cần c/minh:
$$9\geq 3\sum x^{4}y^{4}$$
Theo AM-GM thì
$$3\sum x^{4}y^{4}\leq \sum x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3}+1)$$
nên ta chỉ cần c/minh
$$9\geq \sum x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3}+1)$$
và đây chính là Schur.

Trở lại bài toán.
Sử dụng BĐ, ta chỉ cần c/minh
$$5+r\geq 2q$$
$\bullet q\leq \frac{9}{4}$. BĐT hiển nhiên đúng.
$\bullet \frac{9}{4}\leq q\leq 3$.
Theo Schur ta có
$$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}= \frac{4q-9}{3}$$
$$\Rightarrow 5+r\geq 5+\frac{4q-9}{3}\geq 2q$$
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Chứng minh rằng: Với bộ số $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$ thì:
$$\sum \sqrt[3]{a}+5\geq \prod \left ( a+b \right )$$

Lời giải. 

Ta có: $a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)^3\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)=27-(a^3+b^3+c^3)$

Như vậy ta cần chứng minh: $3\sqrt[3]{a}+3\sqrt[3]{b}+3\sqrt[3]{c}+15\geqslant 27-(a^3+b^3+c^3)$

$\Leftrightarrow (a^3+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a})+(b^3+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b})+(c^3+\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{c})\geqslant 12$

Bất đẳng thức cuối đúng theo $\text{AM-GM}$ nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh