Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$.CM:$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{2-a_{i}} \ge \frac{n}{2n-1}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
Cho các số thực dương thoã mãn $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-02-2013 - 11:05

  • NLT yêu thích

#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho các số thực dương thoã mãn $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Xét hàm số $f(x)=\frac{x}{2-x}$ có $f''(x)=\frac{2}{(2-x)^3}$ nên hàm số lõm tr0ng khoảng $[0;1]$. Áp dụng bất đẳng thức Jensen với $x=a_i$ ta có:
$$f(a_1)+f(a_2)+....+f(a_n)\geq f_{\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)}$$
$$\Rightarrow \frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-02-2013 - 09:36

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Xét hàm số $f(x)=\frac{x}{2-x}$ có $f''(x)=\frac{2}{(2-x)^3}$ nên hàm số lõm tr0ng khoảng $[0;1]$. Áp dụng bất đẳng thức Jensen với $x=a_i$ ta có:
$$f(a_1)+f(a_2)+....+f(a_n)\geq f_{\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)}$$
$$\Rightarrow \frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$$

Có cần sử dụng công cụ mạnh như Jensen để giải hay không khi mà có thể sử dụng Cauchy-Schwarz đơn giản và sơ cấp hơn ;)

Để ý rằng $1+\frac{a_1}{2-a_1}=\frac{2}{2-a_1}$ nên :
\[\frac{1}{{2 - {a_1}}} + \frac{1}{{2 - {a_2}}} + ... + \frac{1}{{2 - {a_n}}} \ge \frac{{{n^2}}}{{2n - 1}}\]

Theo Cauchy-Schwarz thì :
\[\frac{1}{{2 - {a_1}}} + \frac{1}{{2 - {a_2}}} + ... + \frac{1}{{2 - {a_n}}} \ge \frac{{{n^2}}}{{\left( {2 - {a_1}} \right) + \left( {2 - {a_2}} \right) + ... + \left( {2 - {a_n}} \right)}} = \frac{{{n^2}}}{{2n - 1}}\]
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant...\geqslant a_{n}$   

$\Rightarrow \frac{1}{2-a_{1}}\geqslant\frac{1}{2-a_{2}} \geqslant ...\geqslant \frac{1}{2-a_{n}}$

Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có: $VT\geq\frac{1}{n}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}) (\frac{1}{2-a_{1}}+\frac{1}{2-a_{2}}+...+\frac{1}{2-a_{n}})\geqslant \frac{1}{n}.\frac{n^2}{2n-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})} =\frac{n}{2n-1}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...= a_{n}=\frac{1}{n}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh