Chủ đề này có 3 trả lời

[Laser Angry Bird]

Cho $\Delta ABC$. CMR: $cosA.cosB\leqslant sin^{2}\frac{C}{2}$

[lovemoon]

Cho $\Delta ABC$. CMR: $cosA.cosB\leqslant sin^{2}\frac{C}{2}$

ta có: $cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$$cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$(bất đẳng thức AM-GM)
$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$
$= 2sin\frac{C}{2}cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 2sin\frac{C}{2}$( vì$cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 1$)
suy ra$\left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}\leq sin^{2}\frac{C}{2}$
suy ra DPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemoon: 03-02-2013 - 09:50

[lovemoon]

ta có: $cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$$cosA\cdot cosB\leq \left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}$(bất đẳng thức AM-GM)
$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$$cosA+cosB= 2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )$
$= 2sin\frac{C}{2}cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 2sin\frac{C}{2}$( vì$cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\leq 1$)
suy ra$\left ( \frac{cosA+cosB}{2} \right )^{2}\leq sin^{2}\frac{C}{2}$
suy ra DPCM

mấy chỗ viết giống nhau là do mình paste 2 lần nhé,ko có j khác đâu

[Laser Angry Bird]

Cái này mình suy từ $tanA.tanB\geq cot^{2}\frac{C}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{sinA.sinB}{cosA.cosB}\geq \frac{cos^{2}\frac{C}{2}}{sin^{2}\frac{C}{2}}\Leftrightarrow \frac{cosA.cosB+sinA.sinB}{cosA.cosB}\geq \frac{sin^{2}\frac{C}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}}{sin^{2}\frac{C}{2}}\Leftrightarrow \frac{cos\left ( A-B \right )}{cosA.cosB}\geq \frac{1}{sin^{2}\frac{C}{2}}\Leftrightarrow cosA.cosB\leq sin^{2}\frac{C}{2}.cos\left ( A-B \right )\leq sin^{2}\frac{C}{2}$