Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 05-02-2013 - 11:45

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp

Bài 2:
Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}\geq 5\\x^4+8x^2+16mx+16m^2+32m+16=0 \end{matrix}\right.$$

Bài 3:
Giải phương trình sau:
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x-7}$$

Bài 4:
Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn.So sánh hai số $x$ và $4$ biết:
$$x=\prod (1+\sin A)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 05-02-2013 - 12:14

Hình đã gửi


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-02-2013 - 11:58

Bài 2: http://diendantoanho...-16mx-32m-16-0/

Bài 4: Chắc thiếu đề :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-02-2013 - 11:58

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 12:26

Bài 3:
Giải phương trình sau:
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x-7}$$


Điều kiện $x \ge 7.$ Với điều kiện trên thì PT
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2})^2=(\sqrt{x+34}-\sqrt{x-7})^2$
$\Leftrightarrow 2x+1+2\sqrt{x-1}.\sqrt{x+2}=2x+27-2\sqrt{x+34}.\sqrt{x-7}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}.\sqrt{x+2}=13-\sqrt{x+34}.\sqrt{x-7}$
$\Rightarrow x^2+x-2=169-26\sqrt{(x+34)(x-7)}+x^2+27x-238$
$\Rightarrow 26\sqrt{(x+34)(x-7)}=26x-67$
$\Rightarrow 26^2(x+34)(x-7)=(26x-67)^2$
$\Rightarrow 21736x=165377$
$\Rightarrow x=\dfrac{165377}{ 21736}$
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy $x=\dfrac{165377}{ 21736}\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 05-02-2013 - 12:27

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#4 demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:the DEMON gate

Đã gửi 05-02-2013 - 13:01

bài 4: ta xét :tam giác ABC là tam giác không tù tương đương $ A,B,C \left [ 0,90 \right ] $
ta ln A ta có :$ln A=\sum ln(sin A+1)$
Xét hàm này và thấy hàm này là hàm lõm suy ra nó đạt cực tiểu ở biên :) (đg ko nhể)
vì vậy xét các TH khi $A,B,C \in \left \{ 0,90 \right \}$ ta đều thấy $ln A \geq ln4$ vì vậy $A\geq 4$ nhưng vì tam giác ABC nhọn nên không có dấu $=$ :)
Vì vậy $A>4$
:))

#5 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 22:00

Bài 2:
Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}\geq 5\\x^4+8x^2+16mx+16m^2+32m+16=0 \end{matrix}\right.$$


Điều kiện của nghiệm: $x \ne - 2$

Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:

$x^2\left(x + 2\right)^2+4x^2\ge 5\left(x+2\right)^2\\\Leftrightarrow x^4+4x^3+3x^2-20x-20\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2-20\right)\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x+10\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$ vì $\left(x^2+5x+10\right)>0,\forall x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq-1\\x\geq2\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$16m^2+16m\left(x+2\right)+\left(x^2+4\right)^2\\\Leftrightarrow4m+2\left(x+2\right)^2+\left(x^2+4\right)^2-4\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(4m+2\left(x+2\right)\right)^2+x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\,\,\,\,\,\,(3)$

Do $x^2+2x+8=\left(x+1\right)^2+7>0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0\geq x\geq2\,\,\,\,\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $m=-2.$
Vậy: $\boxed{m=-2}\,\,\,\,\blacksquare$

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#6 dorabesu

dorabesu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Làng Ninja

Đã gửi 05-02-2013 - 22:17

Điều kiện của nghiệm: $x \ne - 2$

Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:
$x^2\left(x + 2\right)^2+4x^2\ge 5\left(x+2\right)^2\\\Leftrightarrow x^4+4x^3+3x^2-20x-20\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2-20\right)\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x+10\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$ vì $\left(x^2+5x+10\right)>0,\forall x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq-1\\x\geq2\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$16m^2+16m\left(x+2\right)+\left(x^2+4\right)^2\\\Leftrightarrow4m+2\left(x+2\right)^2+\left(x^2+4\right)^2-4\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(4m+2\left(x+2\right)\right)^2+x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\,\,\,\,\,\,(3)$

Do $x^2+2x+8=\left(x+1\right)^2+7>0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0\geq x\geq2\,\,\,\,\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $m=-2.$
Vậy: $\boxed{m=-2}\,\,\,\,\blacksquare$

Bài này chỉ cần tìm 1 giá trị của m thôi ạ? Nếu thế thì có cần thử lại không anh?

#7 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 22:38

Bài 4:
Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn.So sánh hai số $x$ và $4$ biết:
$$x=\prod (1+\sin A)$$

Ta có:
$x=1+\sin A+\sin B+\sin C+\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A+\sin A\sin B\sin C$
Do $\Delta ABC$ nhọn nên $\sin A\sin B\sin C>0\\\Rightarrow x>1+\sin A+\sin B+\sin C+\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A$
Có bài toán nhỏ 1 sau: Với mọi $\Delta ABC$ ta luôn có: $$0<\sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A<1$$
Thật vậy:
* $\sin A\left(1-\sin B\right)+\sin B\left(1-\sin C\right)+\sin C\left(1-\sin A\right)>0\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A>0$
* $\left(1-\sin A\right)\left(1-\sin B\right)\left(1-\sin C\right)>0\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A<1- \sin A\sin
B\sin C<1\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A< 1\,\,\,(Q.E.D)$

Từ bài toán trên ta suy ra: $1+\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A>\sin A+\sin B+\sin C\Rightarrow x>2\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)>2\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\right),$

(do $0<\sin A,\,\sin B,\,\sin C<1$)
Có bài toán nhỏ 2 sau: Mọi $\Delta ABC$ nhọn khi và chỉ khi: $$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\geq2$$
Do: $\sin C = \sin (A+B)=\sin A \cos B + \sin B \cos A$.
Ta có
$\sin^2 A + \sin^2 B +\sin^2 C > 2 $
$\Leftrightarrow \sin^2 C>(1-\sin^2 A)+(1-\sin^2 B)$
$\Leftrightarrow \sin^2 (A+B)>\cos^2 A+\cos^2 B$
$\Leftrightarrow \left ( \sin A \cos B + \sin B \cos A \right )^2>\cos^2 A+\cos^2 B$
$\Leftrightarrow \sin^2 A \cos^2 B + \sin^2 B \cos^2 A+ 2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A+\cos^2 B$
$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A(1-\sin^2 B)+\cos^2 B(1-\sin^2 A)$
$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A\cos^2 B+\cos^2 B\cos^2 A$
$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>2\cos^2 A\cos^2 B$
$\Leftrightarrow \cos B\cos A (\cos B\cos A-\sin B \sin A)<0$
$\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos (A+B)<0$
$\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos C>0$
$\Leftrightarrow \triangle ABC$ nhọn.

Từ bài toán trên ta suy ra: $x>2\times 2=4.\,\,\,\,\,\,\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 05-02-2013 - 22:43

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#8 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 22:39

Bài này chỉ cần tìm 1 giá trị của m thôi ạ? Nếu thế thì có cần thử lại không anh?

Mình đã đem từ pt trên thế thử xuống pt dưới rồi đó bạn.
KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#9 duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Stamford Bridge

Đã gửi 05-02-2013 - 22:49

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp


Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow 3a^{2}+3a+1=n^{2}$
$\bullet$ Với $a> 0$ hoặc $a<-1$ ta có: $(2a)^{2}< 3a^{2}+3a+1< (2a+1)^{2}$ (không xảy ra)
Suy ra $-1\leq a\leq 0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-1 & \\ a=0 & \end{bmatrix}$
$\bullet$ Với $a=-1$ hoặc $a=0$ ta đều có $n=1=0^{2}+1^{2}$
Vậy ta có đpcm.

#10 demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:the DEMON gate

Đã gửi 06-02-2013 - 00:05

$4a^{2}$ mà nhỏ hơn $3a^{2}+3a+1 \forall a\in Z+$ hả em :luoi:

#11 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 06-02-2013 - 17:47

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp


Xét pt $Pell$ : $x^{2}-3y^{2}=1$...

#12 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 06-02-2013 - 19:05

Điều kiện của nghiệm: $x \ne - 2$

Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:

$x^2\left(x + 2\right)^2+4x^2\ge 5\left(x+2\right)^2\\\Leftrightarrow x^4+4x^3+3x^2-20x-20\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2-20\right)\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x+10\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$ vì $\left(x^2+5x+10\right)>0,\forall x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq-1\\x\geq2\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$16m^2+16m\left(x+2\right)+\left(x^2+4\right)^2\\\Leftrightarrow4m+2\left(x+2\right)^2+\left(x^2+4\right)^2-4\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(4m+2\left(x+2\right)\right)^2+x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\,\,\,\,\,\,(3)$

Do $x^2+2x+8=\left(x+1\right)^2+7>0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0\geq x\geq2\,\,\,\,\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $m=-2.$
Vậy: $\boxed{m=-2}\,\,\,\,\blacksquare$

Bài này sai hẳn thì phải,bạn thử so sánh kết quả với link mà anh Ispectorgadged đưa coi.Bạn coi lại những chỗ bôi đỏ nhé
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#13 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 08-09-2013 - 20:18

Bài này sai hẳn thì phải,bạn thử so sánh kết quả với link mà anh Ispectorgadged đưa coi.Bạn coi lại những chỗ bôi đỏ nhé

Bài ở link đó khác bài này, đọc cho kỹ đi chớ



#14 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 21-09-2013 - 09:47

Bài 1 

$(a + 1)^{3} - a^{3} = n^{2}$

$\Leftrightarrow 3a^{2} + 3a + 1 = n^{2}$

$\Leftrightarrow 3 (4a^{2} + 4a + 1) + 1 = 4n^{2}$

$\Leftrightarrow 3(2a + 1)^{2} + 1 = (2n)^{2}$ (1)

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2n = x\\2a + 1 = y \end{matrix}\right.$ thì x, y cũng là số nguyên dương và phương trình (1) trở thành $x^{2} - 3y^{2} = 1$ 

Phương trình Pell $x^{2} - 3y^{2} = 1$ có nghiệm tổng quát x là $x_{k} = \frac{(2 - \sqrt{3})^{k} + (2 + \sqrt{3})^{k}}{2}$

và $x_{k}$ là dãy số : $\left\{\begin{matrix} x_{1} = 2\\x_{2} = 7 \\x_{k + 2} = 4x_{k + 1} - x_{k} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x_{k + 2} \equiv x_{k} (mod 2)$ $\Rightarrow x_{2k + 1}$ là số chẵn, $x_{2k}$ là số lẻ

$\Rightarrow$ Để 2n = $x_{k}$ thì k là số lẻ hay $n = x_{2k + 1}$

$\Rightarrow n = \frac{(2 + \sqrt{3})^{2k + 1} + (2 - \sqrt{3})^{2k + 1}}{4}$

$\Rightarrow 2n - 1 = \frac{1}{2}. \left ( \left ( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}\right )^{2. (2k + 1)} + \left ( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \right )^{2. ( 2k + 1)} - 2 \right )$

= $\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \right )^{2k + 1} - \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \right )^{2k + 1} \right )^{2}$

= $\left ( \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. (2 + \sqrt{3})^{k} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}. (2 - \sqrt{3})^{k} \right )^{2}$

(đặt) = $u_{k}^{2}$

 

Ta có $\left\{\begin{matrix} u_{1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. (2 + \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} -1}{2}. (2 - \sqrt{3}) = 5\\u_{2} = \frac{\sqrt{3} +1}{2}. (7 + 4\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} . (7 - 4\sqrt{3}) = 19 \\u_{k + 2} = 4u_{k + 1} - u_{k} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{k}$ là số lẻ với mọi k nguyên dương.

 

Đặt $u_{k} = 2b + 1$ với b nguyên dương ta có :

$2n - 1 = (2b + 1)^{2}$

$\Rightarrow n = 2b^{2} + 2b + 1 = b^{2} + (b + 1)^{}$ hay n là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.


Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh