Bài 1
$(a + 1)^{3} - a^{3} = n^{2}$
$\Leftrightarrow 3a^{2} + 3a + 1 = n^{2}$
$\Leftrightarrow 3 (4a^{2} + 4a + 1) + 1 = 4n^{2}$
$\Leftrightarrow 3(2a + 1)^{2} + 1 = (2n)^{2}$ (1)
Đặt $\left\{\begin{matrix} 2n = x\\2a + 1 = y \end{matrix}\right.$ thì x, y cũng là số nguyên dương và phương trình (1) trở thành $x^{2} - 3y^{2} = 1$
Phương trình Pell $x^{2} - 3y^{2} = 1$ có nghiệm tổng quát x là $x_{k} = \frac{(2 - \sqrt{3})^{k} + (2 + \sqrt{3})^{k}}{2}$
và $x_{k}$ là dãy số : $\left\{\begin{matrix} x_{1} = 2\\x_{2} = 7 \\x_{k + 2} = 4x_{k + 1} - x_{k} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x_{k + 2} \equiv x_{k} (mod 2)$ $\Rightarrow x_{2k + 1}$ là số chẵn, $x_{2k}$ là số lẻ
$\Rightarrow$ Để 2n = $x_{k}$ thì k là số lẻ hay $n = x_{2k + 1}$
$\Rightarrow n = \frac{(2 + \sqrt{3})^{2k + 1} + (2 - \sqrt{3})^{2k + 1}}{4}$
$\Rightarrow 2n - 1 = \frac{1}{2}. \left ( \left ( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}\right )^{2. (2k + 1)} + \left ( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \right )^{2. ( 2k + 1)} - 2 \right )$
= $\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \right )^{2k + 1} - \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \right )^{2k + 1} \right )^{2}$
= $\left ( \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. (2 + \sqrt{3})^{k} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}. (2 - \sqrt{3})^{k} \right )^{2}$
(đặt) = $u_{k}^{2}$
Ta có $\left\{\begin{matrix} u_{1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. (2 + \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} -1}{2}. (2 - \sqrt{3}) = 5\\u_{2} = \frac{\sqrt{3} +1}{2}. (7 + 4\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} . (7 - 4\sqrt{3}) = 19 \\u_{k + 2} = 4u_{k + 1} - u_{k} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow u_{k}$ là số lẻ với mọi k nguyên dương.
Đặt $u_{k} = 2b + 1$ với b nguyên dương ta có :
$2n - 1 = (2b + 1)^{2}$
$\Rightarrow n = 2b^{2} + 2b + 1 = b^{2} + (b + 1)^{}$ hay n là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.