Đến nội dung

Hình ảnh

$a+b+c=1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
hand of god

hand of god

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.CMR
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

#2
nguyen phat tai

nguyen phat tai

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.CMR
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Ta có $0 < a, b, c < 1$
$\sum_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum_{cyc}\frac{1-c}{\sqrt{(1-b)(1-a)}}\geq\frac{(\sum_{cyc}\sqrt{1-c})^2}{\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)}}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen phat tai: 06-02-2013 - 17:58

Hình đã gửi

#3
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
Do $a+b+c=1$ nên $\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\geq 3$ (bất đẳng thức $AM-GM$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 07-02-2013 - 10:07


#4
hand of god

hand of god

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
bạn giải thích rõ hơn cái

#5
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

bạn giải thích rõ hơn cái


$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}}=\frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}$
Tương tự có $\left\{\begin{matrix} \frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}=\frac{b+c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\\ \frac{c+a}{ca+b}=\frac{c+a}{\sqrt{(a+b)(b+c)}} \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được

$VT=\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}\geq 3\sqrt[3]{\prod \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}}=3$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh