Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.CMR
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$
$a+b+c=1$
Bắt đầu bởi hand of god, 06-02-2013 - 07:23
#1
Đã gửi 06-02-2013 - 07:23
#2
Đã gửi 06-02-2013 - 17:55
Ta có $0 < a, b, c < 1$Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.CMR
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$
$\sum_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum_{cyc}\frac{1-c}{\sqrt{(1-b)(1-a)}}\geq\frac{(\sum_{cyc}\sqrt{1-c})^2}{\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)}}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen phat tai: 06-02-2013 - 17:58
#3
Đã gửi 07-02-2013 - 10:05
Do $a+b+c=1$ nên $\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\geq 3$ (bất đẳng thức $AM-GM$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 07-02-2013 - 10:07
#4
Đã gửi 13-02-2013 - 14:51
bạn giải thích rõ hơn cái
#5
Đã gửi 13-02-2013 - 14:58
bạn giải thích rõ hơn cái
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}}=\frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}$
Tương tự có $\left\{\begin{matrix} \frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}=\frac{b+c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\\ \frac{c+a}{ca+b}=\frac{c+a}{\sqrt{(a+b)(b+c)}} \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được
$VT=\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}\geq 3\sqrt[3]{\prod \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}}=3$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh