Đến nội dung

Hình ảnh

CMR : $\forall n$ thì dãy $n,f\left( n\right),f\left( \left( n\right) \right),\dots$ là dãy tuần hoàn

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Định nghĩa $f$ trên tập các số nguyên dương bởi $f\left ( n \right ) = \prod_{k=1}^{r}a_k^{p_k}$ nếu $n$ có khai triển nguyên tố là $\prod_{k=1}^{r}p_k^{a_k}$, với trường hợp đặc biệt $f(1) = 1$. Chứng minh rằng với mọi $n$ thì dãy $n,f\left( n\right),f\left( \left( n\right) \right),\dots$ là dãy tuần hoàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 06-02-2013 - 17:39

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2
Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết

Định nghĩa $f$ trên tập các số nguyên dương bởi $f\left ( n \right ) = \prod_{k=1}^{r}a_k^{p_k}$ nếu $n$ có khai triển nguyên tố là $\prod_{k=1}^{r}p_k^{a_k}$, với trường hợp đặc biệt $f(1) = 1$. Chứng minh rằng với mọi $n$ thì dãy $n,f\left( n\right),f\left( \left( n\right) \right),\dots$ là dãy tuần hoàn.

Vì hàm này không đơn ánh nên dãy tuần hoàn ở đây có phải là tuần hoàn bắt đầu tại một thời điểm nào đấy không anh?
Nếu là như thế thì ta chỉ xét với $n=\prod_{k=1}^{r}p_k^{a_k}$ trong đó $a_k \ge 2, \forall 1 \le i \le r$
Trước tiên ta nhận thấy $f(n)= \prod_{k=1}^{r}f(p_k^{a_k})$ và $(st)^p=f(p^s)f(p^t) \ge (s+t)^p=f(p^{s+t})$ trong đó $s,t \ge 2$ và $p$ là số nguyên tố.
Từ 2 điều trên ta có thể suy ra $f(a)f(b) \ge f(ab), \forall a,b \ge 1$
Ngoài ra thì ta cũng có $p^s \ge f(f(p^s))$.
Do đó:
$f(f(n))=f(\prod_{k=1}^{r}f(p_k^{a_k})) \le \prod_{k=1}^{r}f(f(p_k^{a_k})) \le \prod_{k=1}^{r}p_k^{a_k}=n$.
Đặt $f_i(n)$ là hàm hợp $i$ lần của $n$ thì dãy $f_{2k}(n)$ là dãy không tăng với $k \in N$ do đó nó phải là dãy dừng. Vậy đến lúc nào đó dãy cho ở đề bài tuần hoàn theo chu kì 2.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh