Nói đến $U.C.T$ thì chúng ta đang nói đến phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức phụ. Đối với những bạn chưa từng biết về phương pháp này thì việc đưa ra các bất đẳng thức phụ thật sự là một câu hỏi khó. Phương pháp này cũng khá rộng nên hôm nay mình cũng chia sẻ cách mà chúng ta sử dụng phương pháp này để giải một dạng bài quen thuộc.
Bài toán: Cho $a;b;c\ge 0$ thỏa mãn $f\left( a \right) + f\left( b \right) + f\left( c \right) = 3k$ Chứng minh rằng:
\[g\left( a \right) + g\left( b \right) + g\left( c \right) \ge 3k'\]
(Bài toán có cực trị (dấu bằng xảy ra) tại tâm nghĩa là $a=b=c=x_0$)
Thứ nhất các kiến thức cần sử dụng:
Định lý $Fermat$: Cho hàm $f:\left( {a;b} \right) \to R$ nếu hàm $f$ đạt cực trị tại $c\in (a;b)$ thì $f'\left( c \right) = 0$
Các công thức $logarit$: $lnabc=lna+lnb+lnc$ với $a;b;c>0$ Công thức này giúp ta chuyển BĐT có điều kiện dạng tích về dạng tổng.
Đạo hàm của hàm $Logarit$: $$(lnx)'=\dfrac{1}{x}$$
Bất đẳng thức $Jensen$
*) Cho $f$ là hàm lồi trên $(a;b)$ với $x_i\in (a;b)$ $i = \overline {1;n} $ ta có:
\[\frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + \cdots + f\left( {{x_n}} \right)}}{n} \ge f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}{n}} \right)\]
**) Cho $f$ là hàm lõm trên $(a;b)$ với $x_i\in (a;b)$ $i = \overline {1;n} $ ta có:
\[\frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + \cdots + f\left( {{x_n}} \right)}}{n} \le f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}{n}} \right)\]
Để đơn giản hơn thì các bạn chỉ cần nhớ rằng $f"(x)>0$ với $x\in (a;b)$ thì $f$ lồi trên $(a;b)$ và ngược lại.
Bây giờ mình sẽ vào phần chính luôn, đó là cách xây dựng các bất đẳng thức phụ. ( Với bài toán tôi đã nêu ở trên)
Chúng ta sẽ hệ số bất định như sau.
\[g\left( x \right) \ge k' + \alpha \left[ {f\left( x \right) - k} \right]\]
Vấn đề là ta cần tìm $\alpha$ (gọi là hệ số bất định)
Ta có bất đẳng thức mà ta giả sử sẽ tương đương với:
\[h\left( x \right) = g\left( x \right) - k' - \alpha \left[ {f\left( x \right) - k} \right]\]
Sẽ đạt cực trị tại $x=x_0$ hay theo định lý $Fermat$ là $h'(x_0)=0$
Hay \[\alpha = \frac{{g'\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\]
Vậy bất đẳng thức của ta cần tìm sẽ có dạng:
\[g\left( x \right) \ge k' + \frac{{g'\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\left[ {f\left( x \right) - k} \right]\]
Bây giờ sẽ lại nảy sinh ra vấn đề mới, bất đẳng trên luôn đúng hay không? Nếu nó không phải luôn đúng thì ta sẽ sử lý chúng ra làm sao?
Có thể trả lời luôn, bất đẳng thức trên không phải luôn đúng, và công việc của ta sau khi xây dựng bất đẳng thức trên xong là kiểm tra lại bất đẳng thức đó (có thể khảo sát hàm số, hay biến đổi tương đương). Nếu bất đẳng thức của ta là luôn đúng thì xong luôn (đi ngủ), nếu không phải luôn đúng ( cái này mệt rồi đây) thì ta khoang vùng những điểm nhạy cảm (thường là những điểm làm cho BĐT đổi chiều, hay các điểm là cho hàm số chuyển từ lồi sang lõm ...) và cuối cùng là chia trường hợp để xử lý.
Chỉ đơn giản là có vậy thôi, nhưng sức mạnh của nó thì đã được kiểm chứng. Nó có thể chứng minh những bất đẳng thức khó mà không cần động đến những phương pháp trâu bò như $EV, LCF-RCF...$
Ví dụ: (để tối mình sẽ lấy, giờ phải đi nấu cơm đã)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 07-02-2013 - 17:35