Chủ đề này có 2 trả lời

[Gioi han]

Giải phương trình:
1, $27x^2 -24x-3=\sqrt{27x+13}$
2,$x+3=2\sqrt{x}+\sqrt{x+1}$

[nthoangcute]

Giải phương trình:
1, $27x^2 -24x-3=\sqrt{27x+13}$
2,$x+3=2\sqrt{x}+\sqrt{x+1}$

Ta có:
1. $$27x^2 -24x-3-\sqrt{27x+13}=-\dfrac{1}{3}\, \left( 9\,x-1+\sqrt {27\,x+13} \right) \left( -9\,x+4+\sqrt {
27\,x+13} \right) $$
2.
Cách 1: Xét hàm $f(x)=x+3-2\sqrt{x}-\sqrt{x+1}$. $f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$\min f(x)=f(-1+\dfrac{1}{16}\, \left( 1+\sqrt {17+8\,\sqrt {5}} \right) ^{2})=\\ \frac {15}{8}+{\frac {7}{8}}\,\sqrt {17+8\,\sqrt {5}}-\dfrac{1}{2}\,\sqrt {17
+8\,\sqrt {5}}\sqrt {5}

$$
________
Note: Wolframlpha không tìm được min chính xác !
Cách 2: (Áp dụng cách 1)
$$f(x)=x+3-2\sqrt{x}-\sqrt{x+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}(\sqrt{x+1}-\sqrt{3})^2+\dfrac{6-3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6} x-\dfrac{2}{\sqrt{3}}+3-\sqrt{2}>0$$
Cách 3: Bình phương hai vế, lại chuyển tiếp bình phương hai vế (Bước đường cùng)
$$x^4+2x^3+x^2+64=x^2(x+1)^2+64>0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 08-02-2013 - 07:05

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

a) Ta có:

Điều kiện: $x \geq \dfrac{-13}{27}$

Phương trình tương đương:
$9x^2 - 8x - 1 = \sqrt{3x + \dfrac{13}{9}}$

$\Leftrightarrow (3x - \dfrac{4}{3})^2 - \dfrac{25}{9} = \sqrt{3x + \dfrac{13}{9}}$

Đặt $a = 3x - \dfrac{4}{3}$, suy ra:

$$a^2 - \dfrac{25}{9} = \sqrt{a + \dfrac{25}{9}}$$

Lại đặt $b = \sqrt{a + \dfrac{25}{9}} \geq 0$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}b^2 - a = \dfrac{25}{9}\\a^2 - b = \dfrac{25}{9}\end{matrix}\right.$

Do $b \geq 0$ nên:

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a = b = \dfrac{3 + \sqrt{109}}{6}\\ \left\{\begin{matrix} a + b + 1 = 0\\b = \dfrac{-3 + \sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x - \dfrac{4}{3} = \dfrac{3 + \sqrt{109}}{6}\\ 3x - \dfrac{4}{3} = \dfrac{-\sqrt{73} + 3}{6} - 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \dfrac{11 + \sqrt{109}}{18}\\x = \dfrac{- \sqrt{73} + 5}{18}\end{matrix}\right.$

Tái bút: Bài dài quá, không biết có sót nghiệm không nữa! Mong bạn thông cảm…

b) $x + 3 = 2\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}$

Điều kiện: $x \geq 0$

Phương trình tương đương:
$2(x + 3) = 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow x - 4\sqrt{x} + 4 + x + 1 - 2\sqrt{x + 1} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{x + 1} - 1)^2 = 0$

Phương trình nói trên vô nghiệm do dấu "=" ở hai phương trình
$\sqrt{x} - 2 = 0$ và $\sqrt{x + 1} - 1 = 0$ không đồng thời xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 08-02-2013 - 10:40