Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức với lũy thừa.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a,b$

$a^{ea} + b^{eb} \geq a^{eb} + b^{ea}$

Trong đó $e$ là hằng số trong logarith tự nhiên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 09:39


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Sao bài này trâu vậy :)
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$
Đặt $x=ea,y=eb$ thì ta có $x\geq y$
BĐt cần chứng minh tương đương với $x^{x}-y^{x}\geq e^{x-y}(x^{y}-y^{y})$
Đặt $c=x^{y},d=y^{y}$ thì bđt cần cm tương đương với
$c^{\frac{x}{y}}-d^{\frac{x}{y}}\geq e^{x-y}(c-d)$
Ta sẽ chưng minh $c^{\frac{x}{y}}-d^{\frac{x}{y}}\geq \frac{x}{y}.(cd)^{\frac {x-y}{2y}}(c-d)\geq e^{x-y}.(c-d)$
ta cm bđt vế phải trước :
$\frac{x}{y}.(xy)^{\frac{x-y}{2}}\geq e^{x-y}$
Xét hàm $f(x)=ln x-ln y+\frac{1}{2}.(x-y)(ln x+ln y)-x+y $
Ta có: $f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{ln (xy)}{2}-\frac{y}{2x}-\frac{1}{2}$
và $f"(x)={x+y-2}{2x^{2}}$
Xét 2th : $x\geq y\geq 1$ và $1\geq x\geq y$
TH1: ta có $f"(x)>0,f'(x)$ tăng rồi suy ra $f'(x)>f'(y)$. Đặt $f'(y)=g(y)$ thì ta có $g'(y)>0$ và suy ra $g(y)>g(1)=0$ và suy ra $f'(x)>0 $ .suy ra f là hàm tăng suy ra $f(x)>f(y)=0$
TH2:ta có $f"(x)<0,f(x)$ lõm trên khoảng $y$ đến $1$ sau đó ta cx cm đc $f(y)\geq 0$ và $f(1)>0$ .BĐT hai thì hiển nhiên
Trong khi bđt thứ 1 tương đương với $g(y)>g(1)=0$ với $g(y)=$\frac{2.(y-1)}{y+1} -ln y $ mà ta có $g'(y)<0$
Và điều này cm bdt
Giờ ta cm bđt vt :đặt $s=\frac{x}{y}$ thj ta có $c^{s}-d^{s}>s.(cd)^{s-1}{2}$ ta cx dễ dàng cm đc bđt này khi xét đạo hàm theo $c$ $f\left(c\right)>f(d)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-02-2013 - 22:20

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Phần kiểm tra trường hợp của bạn còn thiếu: 1 ở giữa $x$ và $y$

Thêm nữa là hình như bạn đánh giá 2 trường hợp chưa chính xác và 1 vài chỗ lỗi đánh máy. Mong bạn sửa lại những lỗi không liên quan đến lời giải để mình không hiểu sai :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 14:05


#4
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

hơi tắt thui mà :)


Lời giải của bạn còn thiếu trường hợp $0 < b < \frac{1}{e} < a$ hay tương đương với $0 < y < 1 < x$ Bổ đề của bạn chỉ giải quyết được khi $a > 1$ nên còn phần $a < 1$ vẫn chưa trọn vẹn :)

Plus thêm là bạn nên chau chuốt cho lời giải thêm 1 chút, còn nhiều chỗ sai mà nếu mình không có thời gian tính toán kiểm tra thì mình không hiểu bạn muốn nói gì...

Bổ sung: comment này viết truớc khi bạn sửa comment trên phần bổ đề. Mình sẽ kiểm lại khi có thời gian ;)

Bổ sung 2: mình thấy bạn đã bỏ phần bổ đề đó trong lời giải. Thực tế thì bổ đề đó không đúng: $x, y$ là hàm theo $a, b$ theo thứ tự đó nên hoàn toàn liên tục và có thể lấy giá trị dương tuỳ ý. Bây giờ lấy $x = 2, y = \frac{1}{2}$ thì cặp số này phủ định bất đẳng thức phụ của bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 15:02


#5
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
cái đó thì bạn nên hỏi VASCsile Cirtoaje :excl:
Đó là 1 open question

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 08-02-2013 - 15:03


#6
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

cái đó thì bạn nên hỏi VASCsile Cirtoaje :excl:


Nếu bạn đã đọc lời giải bài toán thì mình cũng không cần nói thêm nhiều.

Bài toán này được mình và 1 số mem khác trên mathlinks đề xuất lần đầu tiên (theo mình biết) năm 2006.

Vasc giải bài toàn này với lời giải chưa hoàn thành (lời giải năm 2008), sau đó nó được hoàn chỉnh 2 năm sau đó bởi một người Nhật.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 15:07


#7
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Lời giải của bạn còn thiếu trường hợp $0 < b < \frac{1}{e} < a$ hay tương đương với $0 < y < 1 < x$ Bổ đề của bạn chỉ giải quyết được khi $a > 1$ nên còn phần $a < 1$ vẫn chưa trọn vẹn :)

Plus thêm là bạn nên chau chuốt cho lời giải thêm 1 chút, còn nhiều chỗ sai mà nếu mình không có thời gian tính toán kiểm tra thì mình không hiểu bạn muốn nói gì...

Bổ sung: comment này viết truớc khi bạn sửa comment trên phần bổ đề. Mình sẽ kiểm lại khi có thời gian ;)

Bổ sung 2: mình thấy bạn đã bỏ phần bổ đề đó trong lời giải. Thực tế thì bổ đề đó không đúng: $x, y$ là hàm theo $a, b$ theo thứ tự đó nên hoàn toàn liên tục và có thể lấy giá trị dương tuỳ ý. Bây giờ lấy $x = 2, y = \frac{1}{2}$ thì cặp số này phủ định bất đẳng thức phụ của bạn.

cái đó theo mình nhớ là open question trừ khi bạn đọc đc thj có thế chia sẻ <_<

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 08-02-2013 - 15:05


#8
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

cái đó v là open question trừ khi bạn giải đc thj có thế chia sẻ <_<


Hiện mình đang ở ngoài, tài liệu về bài toán này đang trong máy tính ở nhà nên nếu bạn ngại tìm kiếm mình sẽ update nó :D.

Trong thời gian đó nếu bạn Whjteshadow không muốn bị spoiled thì có thể comment và mọi người cùng suy nghĩ thêm :)

#9
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
Thôi khỏi cần bạn ấy tốn công anh ạ :)
ai muốn tham khảo thì vào đây :))
http://www.artofprob...118722&start=40

#10
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Cảm ơn bạn demon, nếu các bạn cần lời giải của nó thì mình để link ở đây mang tính chất tham khảo

https://www.box.com/shared/kmhegx5xadngbvx7891c

Mình cũng rất phục bạn Whjteshadow vì có ý tưởng giải bài này rất đúng hướng (thấy bạn mới 15 tuổi), thời gian mình giải nó mình cũng chả có hướng gì cả, học hết cấp 3 thì nó vẫn còn open :D.

#11
eneim

eneim

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Bổ sung thêm là trong bài báo này

http://www.emis.de/journals/TJNSA/includes/files/articles/Vol4_Iss2_130-137_PROOFS_OF_THREE_OPEN_INEQUALITIES_W.pdf

Vasc cũng đã giải quyết nốt khoảng còn lại theo con đường khác với bài mình có, nói cách khác thì đến bài báo này giáo sư cũng đã hoàn thành trọn vẹn lời giải của mình :).




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh