Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Định m để pt có đúng 1 nghiệm $$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 ngocqui611

ngocqui611

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 12-12-2005 - 15:37

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

#2 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 18-08-2012 - 21:09

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

Điều kiện: $x\ge 1$
-Pt đã cho tương đương với:
$$(x-1)-2m\sqrt{x-1}+m-3=0\ (*)$$
Đặt $y=\sqrt{x-1}$ với điều kiện $y\ge 0$. Phương trình $(*)$ trở thành:
$$y^2-2my+m-3=0\ (1)$$
Ta cần tìm các giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có duy nhất một nghiệm không âm (điều kiện cần):
Có: $\Delta '=m^2-m+3=(m-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{11}{4}>0\ \forall m$ nên phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

*) Với $y=0$, thay vào $(1)$ có:
$$m-3=0\Leftrightarrow m=3$$
-Thử lại với $m=3$ thì:
$$(1)\Leftrightarrow y^2-6y=0\Leftrightarrow y(y-6)=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} y=0\\ y=6 \end{matrix} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sqrt{x-1}=0\\ \sqrt{x-1}=6 \end{matrix} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=1\\ x=37\end{matrix} \right.$$
Car hai nghiệm này đều thỏa mãn ĐKXĐ nên lúc này $(*)$ không có một nghiệm duy nhât. Trường hợp này loại.

*) Với $y>0$. Phương trình $(1)$ có duy nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi $(1)$ có hai nghiệm trái dấu. Điều này tương đương với:
$$1(m-3)>0 \\ \Leftrightarrow m<3$$

(Điều kiện đủ) Ngược lại với $m<3$, gọi $y_0$ là nghiệm dương duy nhất của $(1)$. Theo cách đặt ta có:
$$\sqrt{x-1}=y_0\\ \Leftrightarrow x-1=y_0^2\\ \Leftrightarrow x= y_0^2+1$$
Nghiệm trên là duy nhất do giá trị $y_0$ đã được xác định.

Vậy tập giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $m<3\ \square$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#3 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 18-08-2012 - 21:19

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

Giải khác theo Viète:
-Đặt $a=\sqrt{x-1}$ ($a \geq 0$)
$(*)\Leftrightarrow a^2-2ma+m-3=0(**)$
Ta có: $\Delta '=m^2-m+3=(m-0.5)^2+2,75>0$
$(**)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt
-Để $(*)$ có 1 nghiệm thì $(**)$ phải có 1 nghiệm là nghiệm không âm.
+$(**)$ có 1 nghiệm 0 và nghiệm còn lại âm:
$\begin{cases}
& \ S< 0 \\
& \ P=0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}
& \ m<0 \\
& \ m=3
\end{cases}\Rightarrow m \in \phi $
+$(**)$ có 2 nghiệm trái dấu:
$P<0\Leftrightarrow m<3$
Vậy m thỏa đề: $m<3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 18-08-2012 - 21:44

^^~

#4 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 18-08-2012 - 21:31

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

Mình mở rộng bài hen:
Tìm $a;b;c$ để phương trình sau có đúng một nghiệm:
$x-a\sqrt{x-b}-b+c=0(*)$
Đặt $y=\sqrt{x-b}$
$(*)$ tương đương:
$y^2-ay+c=0(**)$
Giải tương tự trên, ta có $(*)$ có 1 nghiệm khi và chỉ khi $(**)$ có đúng một nghiệm không âm, hoặc nghiệm kép dương:
Hay $c<0$ Hoặc $\begin{cases}
& \ c=0 \\
& \ a\leq 0
\end{cases}$
Hoặc $\begin{cases}
& \ a^2-4c= 0 \\
& \ a>0
\end{cases}$
(Với mọi $b$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 18-08-2012 - 21:54

^^~

#5 donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Ngắm gái và ... ngắm gái! :P

Đã gửi 18-08-2012 - 23:22

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm
$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$


Em xin làm (không biết có đúng không):
Điều kiện pt có nghĩa $x\geq 1$
$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)-2\sqrt{x-1}.m+m^2=m^2-m+3$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-m)^2=m^2-m+3$
$\Leftrightarrow \left | \sqrt{x-1}-m \right |=\sqrt{m^2-m+3}$
( vì $m^2-m+3>0$ với mọi x)
$\left | \sqrt{x-1}-m \right |=\sqrt{m^2-m+3}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x-1}=m-\sqrt{m^2-m+3}(1)\\ \sqrt{x-1}=m+\sqrt{m^2-m+3} (2)\end{bmatrix}$
PT có đúng 1 nghiệm khi chỉ 1 trong 2 pt $(1)$ và $(2)$ có nghiệm hoặc cả 2 pt đều có cùng 1 nghiệm.
+Trường hợp 2 pt có cùng 1 nghiệm:
khi đó $m-\sqrt{m^2-m+3}=m+\sqrt{m^2-m+3}$ không có m thỏa.
+Trường hợp 1 trong 2 pt $(1)$ và $(2)$ có nghiệm:
*) Với $\sqrt{x-1}=0$, có
$$m-3=0\Leftrightarrow m=3$$
-Thử lại với $m=3$ thì:
$ \left[ \begin{matrix} x=1\\ x=37\end{matrix} \right.$
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn ĐKXĐ nên lúc này pt không có một nghiệm duy nhất.

*) Với $\sqrt{x-1}\neq 0$
1 trong 2 pt $(1)$ và $(2)$ có nghiệm tức:
$\begin{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
m-\sqrt{m^2-m+3}>0\\
m+\sqrt{m^2-m+3}<0
\end{Bmatrix}\\
\begin{Bmatrix}
m-\sqrt{m^2-m+3}<0\\
m+\sqrt{m^2-m+3}>0
\end{Bmatrix}
\end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
m>3\\
m<0\wedge m>3
\end{Bmatrix}\\
\begin{Bmatrix}
m\leq 0\vee 0<m<3\\
m\in R
\end{Bmatrix}
\end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}
m\leq 0\vee 0<m<3\\
m\in R
\end{Bmatrix}$

$\Leftrightarrow m<3$
Vậy $m<3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 18-08-2012 - 23:33


#6 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-08-2012 - 08:30

phương trình $x-2m\sqrt{x-1}+m-4=0$ (1)
Điều kiện xác định $x\geq 1$ Ta đặt $\sqrt{x-1}=t\geq 0\Rightarrow x=t^{2}+1$ thay vào (1) ta có $t^{2}-2mt+m-3=0$ (2)
$\Delta "=m^{2}-m+3=\begin{pmatrix} m-\frac{1}{2} \end{pmatrix}^{2}+\frac{11}{4}> 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta thấy $t\geq 0$ nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi vào chỉ khi (2) có hai nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow m-3< 0\Leftrightarrow m< 3$
Vậy với $m< 3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất

#7 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 19-08-2012 - 22:54

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0(*)$$

Một cách giải khác thông qua đồ thị hàm số, không hề THCS:
-Lại lấy $a=\sqrt{x-1}$($a$không âm)
$(*)\Leftrightarrow a^2-3=m(2a-1)$
-Rõ ràng $a=0,5$ không là nghiệm, nên ta có:
$m=\frac{a^2-3}{2a-1}=0,5a+0,25-\frac{2,75}{2a-1}$
-Xét đường thẳng $(d):y=m$ và đường cong: $©:y=f(x)=0,5x+0,25-\frac{2,75}{2x-1}$
Mà $f'(x)=0,5+\frac{5,5}{(2x-1)^2}>0$
-Với 2 đường tiệm cận là $y=0,5x+0,25$ và $x=0,5$ ta có đồ thị của $©$ như sau:
$x:-\infty \rightarrow 0,5\Rightarrow f(x):-\infty \rightarrow +\infty
\\ x:0,5\rightarrow +\infty \Rightarrow f(x):-\infty \rightarrow +\infty$
-Với $f(0)=3$ , ta có đề thỏa khi và chỉ khi $(d)$ và $©$ cắt nhau tại 2 điểm nằm trên 2 phía của trục $Oy$, hoặc một điểm trên trục và điểm kia nằm về phía âm
Hay $m<3$
Đáp số: $m<3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 19-08-2012 - 22:56

^^~

#8 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2012 - 08:06

Chấm điểm:
minhtuyb: 10
robin997: 5
donghaidhtt: 5
diepviennhi: 5

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#9 snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN TPHCM
  • Sở thích:Nuôi cá vàng

Đã gửi 01-12-2012 - 20:46

Sao không ai đưa ra cách giải bằng đồ thị he

#10 Bao Ho

Bao Ho

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-12-2012 - 18:37

Phương trình: $x-2m\sqrt{x-1}+m-4$$\left ( \ast \right )$
ĐKXĐ: $X\geq 1$
Đặt $\sqrt{x-1}=t\left ( t\geq 0 \right )\Rightarrow x=t^{2}+1$
Từ $\left ( \ast \right )\Rightarrow$$t^{2}+1-2mt+m-4=0\Leftrightarrow t^{2}-2mt+m-3=0$$\left ( \ast \ast \right )$
$\bigtriangleup '=m^{2}-m+3$= \left ( m-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{11}{4}> 0 \Rightarrow \left ( \ast \ast \right ) luôn có hai nghiệm phân biệt
Để $\left ( \ast \right )$ có có duy nhất 1 nghiệm thì $\left ( \ast \ast \right )$ có duy nhất một nghiệm không âm.
Trường hợp 1: $t=0$$\Rightarrow m-3=0\Leftrightarrow m=3$
Thế $m=3$ vào $\left ( \ast \ast \right ) t^{2}-6t=0 \Rightarrow t\left ( t-6 \right )=0$ \Rightarrow t=0$ hoặc t=6$
Với $t=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=37$ \Rightarrow $\left ( \ast \right )$ có 2 nghiệm phân biệt(loại)
Trường hợp 2: $\left ( \ast \ast \right )$ có 1 nghiệm dương $\Rightarrow$ $\left ( \ast \ast \right )$ có 2 nghiệm trái dấu
$\Rightarrow \frac{1}{m-3}< 0\Rightarrow m< 3$
Vậy để phương trình có đúng 1 nghiệm thì $m< 3$

#11 Muasaobang98

Muasaobang98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 26-01-2013 - 21:47

x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0
$ĐK: x-1\geq 0$
$ĐK: x-1\geq 0 x-2m\sqrt{x-1} +m -4=0 \Leftrightarrow m(1-2\sqrt{x-1})=4-x (1) Xét 1-2\sqrt{x-1} =0 \Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}=1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x-1 = \frac{1}{4} (Vì x-1>0) \Leftrightarrow x = \frac{5}{4} (TM) Thay x=\frac{5}{4} vào (1), ta có: (1) \Leftrightarrow 0m=4-\frac{5}{4} (Vô lí) Nếu 1-2\sqrt{x-1} \neq 0 \Leftrightarrow x\neq \frac{5}{4} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow m(1-2\sqrt{x-1})=4-x \Leftrightarrow m=\frac{4-x}{1-2\sqrt{x-1}}$
Việc học giống như con thuyền ngược nước, không tiến ắt sẽ lùi

#12 hancongnhu9x

hancongnhu9x

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thich xem phim

Đã gửi 30-05-2014 - 22:23

$đk x\geq 1 đặt a=\sqrt{x-1}\left ( a\geq 0 \right ) \rightarrow ^{2}=x-1\rightarrow a^{2}+1=x thay  vào  pt  ta được  a^{2}-2ma+m-3=0  \Delta =4m^{2}-4\left ( m-3 \right )=4m^{2}-4m+12$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hancongnhu9x: 30-05-2014 - 22:24


#13 MATHVNkakaka

MATHVNkakaka

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:MATH and Harvard !!!

Đã gửi 03-11-2016 - 20:53

Em xin làm (không biết có đúng không):
Điều kiện pt có nghĩa $x\geq 1$
$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)-2\sqrt{x-1}.m+m^2=m^2-m+3$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-m)^2=m^2-m+3$
$\Leftrightarrow \left | \sqrt{x-1}-m \right |=\sqrt{m^2-m+3}$
( vì $m^2-m+3>0$ với mọi x)
$\left | \sqrt{x-1}-m \right |=\sqrt{m^2-m+3}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x-1}=m-\sqrt{m^2-m+3}(1)\\ \sqrt{x-1}=m+\sqrt{m^2-m+3} (2)\end{bmatrix}$
PT có đúng 1 nghiệm khi chỉ 1 trong 2 pt $(1)$ và $(2)$ có nghiệm hoặc cả 2 pt đều có cùng 1 nghiệm.
+Trường hợp 2 pt có cùng 1 nghiệm:
khi đó $m-\sqrt{m^2-m+3}=m+\sqrt{m^2-m+3}$ không có m thỏa.
+Trường hợp 1 trong 2 pt $(1)$ và $(2)$ có nghiệm:
*) Với $\sqrt{x-1}=0$, có
$$m-3=0\Leftrightarrow m=3$$
-Thử lại với $m=3$ thì:
$ \left[ \begin{matrix} x=1\\ x=37\end{matrix} \right.$
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn ĐKXĐ nên lúc này pt không có một nghiệm duy nhất.

*) Với $\sqrt{x-1}\neq 0$
1 trong 2 pt $(1)$ và $(2)$ có nghiệm tức:
$\begin{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
m-\sqrt{m^2-m+3}>0\\
m+\sqrt{m^2-m+3}<0
\end{Bmatrix}\\
\begin{Bmatrix}
m-\sqrt{m^2-m+3}<0\\
m+\sqrt{m^2-m+3}>0
\end{Bmatrix}
\end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\begin{Bmatrix}
m>3\\
m<0\wedge m>3
\end{Bmatrix}\\
\begin{Bmatrix}
m\leq 0\vee 0<m<3\\
m\in R
\end{Bmatrix}
\end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}
m\leq 0\vee 0<m<3\\
m\in R
\end{Bmatrix}$

$\Leftrightarrow m<3$
Vậy $m<3$

dấu tuyển và dấu hội đóng vai trò là gì ?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh