Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

India National Olympiad 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 11-02-2013 - 10:01

Câu 1: Cho $ \Gamma 1$ và $ \Gamma 2$ là 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại $R$. $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm của đường tròn$ \Gamma 1$ và $ \Gamma 2$. Gọi $l_1$ là đường thẳng qua $O_1$ và tiếp xúc với $ \Gamma 2$ tại $P$, $l_2$ là đường thẳng qua $O_2$ và tiếp xúc với $ \Gamma 1$ tại $Q$. Gọi $K=l_1 \cap l_2$.
Giả sử $KP=PQ$, chứng minh rằng $PQR$ là tam giác đều.

Câu 2: Tìm $m, n \in \mathbb{N}$ và số nguyên tố $p>5$ thỏa mãn:
$$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$$

Câu 3: Cho $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ và $a \geq b \geq c \geq d$.
Chứng minh rằng: phương trình $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$ vô nghiệm.

Câu 4: Cho $N$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $T_n$ là số tập con S khác rỗng của tập hợp ${1; 2; ... ; n} $ sao cho trung bình cộng các phần tử của S là số nguyên.
Chứng minh rằng: $T_n-n$ là số chẵn.


Câu 5: Cho tam giác $ABC$ có $O, G, H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm. Lấy $D \in BC, E \in CA$ và $OD \perp BC, HE \perp CA$. Gọi $F$ là trung điểm của $AB$.
Nếu các tam giác $ODC, HEA, GFB$ có cùng diện tích, tìm tất cả các giá trị của $\widehat{ACB}$.

Câu 6:
Cho $a, b, c, x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=a+b+c$ và $xyz=abc$. Giả sử $a \leq x <y <t \leq c$ và $a<b<c$.
Chứng minh rằng: $a=x, b=y, c=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 11-02-2013 - 10:05

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#2 BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Air Conditioner}$

Đã gửi 03-06-2019 - 10:31

Câu 4: Cho $N$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $T_n$ là số tập con S khác rỗng của tập hợp ${1; 2; ... ; n} $ sao cho trung bình cộng các phần tử của S là số nguyên.
Chứng minh rằng: $T_n-n$ là số chẵn.

 

Bài toán quen thuộc sử dụng phương pháp song ánh

Ta bỏ đi $n$ tập con có $1$ phần tử của $T_n$

$T_n-n$ tập "tốt" còn lại chia vào $2$ loại: Tập đó chứa trung bình cộng các phần tử của nó hoặc Tập đó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó

Giờ xét tập con của $S=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ trong đó trung bình cộng của các phần tử của nó là $a_k$. Khi đó $S \setminus \{a_k\}$ cũng là một tập "tốt" và nó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó. Dễ thấy phép biến đổi này là một đơn ánh

Tương tự nếu $S=\{a_1,...,a_k\}$ có trung bình cộng các phần tử của $S$ là $b$ và $b \neq a_i$. Dễ thấy $k<n$ vì $\dfrac{1+2+...+n}{n}$ nếu là số nguyên thì nó cũng nằm trong $X$. Do đó nếu xét $S'$ là hợp của $S$ với $b$ thì $S'$ là một tập con của $X$ và dễ thấy đây cũng là một đơn ánh

Vậy tồn tại một song ánh đi từ $2$ loại tập tốt này vào nhau. Do đó số lượng tập tốt ở mỗi loại này bằng nhau

Do đó $T_n -n  \vdots 2$


WangtaX

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh