Đến nội dung


Hình ảnh

India National Olympiad 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 11-02-2013 - 10:01

Câu 1: Cho $ \Gamma 1$ và $ \Gamma 2$ là 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại $R$. $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm của đường tròn$ \Gamma 1$ và $ \Gamma 2$. Gọi $l_1$ là đường thẳng qua $O_1$ và tiếp xúc với $ \Gamma 2$ tại $P$, $l_2$ là đường thẳng qua $O_2$ và tiếp xúc với $ \Gamma 1$ tại $Q$. Gọi $K=l_1 \cap l_2$.
Giả sử $KP=PQ$, chứng minh rằng $PQR$ là tam giác đều.

Câu 2: Tìm $m, n \in \mathbb{N}$ và số nguyên tố $p>5$ thỏa mãn:
$$m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)$$

Câu 3: Cho $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ và $a \geq b \geq c \geq d$.
Chứng minh rằng: phương trình $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$ vô nghiệm.

Câu 4: Cho $N$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $T_n$ là số tập con S khác rỗng của tập hợp ${1; 2; ... ; n} $ sao cho trung bình cộng các phần tử của S là số nguyên.
Chứng minh rằng: $T_n-n$ là số chẵn.


Câu 5: Cho tam giác $ABC$ có $O, G, H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm. Lấy $D \in BC, E \in CA$ và $OD \perp BC, HE \perp CA$. Gọi $F$ là trung điểm của $AB$.
Nếu các tam giác $ODC, HEA, GFB$ có cùng diện tích, tìm tất cả các giá trị của $\widehat{ACB}$.

Câu 6:
Cho $a, b, c, x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=a+b+c$ và $xyz=abc$. Giả sử $a \leq x <y <t \leq c$ và $a<b<c$.
Chứng minh rằng: $a=x, b=y, c=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 11-02-2013 - 10:05

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#2 BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Air Conditioner}$

Đã gửi 03-06-2019 - 10:31

Câu 4: Cho $N$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ và $T_n$ là số tập con S khác rỗng của tập hợp ${1; 2; ... ; n} $ sao cho trung bình cộng các phần tử của S là số nguyên.
Chứng minh rằng: $T_n-n$ là số chẵn.

 

Bài toán quen thuộc sử dụng phương pháp song ánh

Ta bỏ đi $n$ tập con có $1$ phần tử của $T_n$

$T_n-n$ tập "tốt" còn lại chia vào $2$ loại: Tập đó chứa trung bình cộng các phần tử của nó hoặc Tập đó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó

Giờ xét tập con của $S=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ trong đó trung bình cộng của các phần tử của nó là $a_k$. Khi đó $S \setminus \{a_k\}$ cũng là một tập "tốt" và nó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó. Dễ thấy phép biến đổi này là một đơn ánh

Tương tự nếu $S=\{a_1,...,a_k\}$ có trung bình cộng các phần tử của $S$ là $b$ và $b \neq a_i$. Dễ thấy $k<n$ vì $\dfrac{1+2+...+n}{n}$ nếu là số nguyên thì nó cũng nằm trong $X$. Do đó nếu xét $S'$ là hợp của $S$ với $b$ thì $S'$ là một tập con của $X$ và dễ thấy đây cũng là một đơn ánh

Vậy tồn tại một song ánh đi từ $2$ loại tập tốt này vào nhau. Do đó số lượng tập tốt ở mỗi loại này bằng nhau

Do đó $T_n -n  \vdots 2$


WangtaX

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh