Đến nội dung

Hình ảnh

$a^2+b^2+c^2+\frac{\sqrt{3}(ab+bc+ac)\sqrt[3]{abc}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge 2(ab+bc+ac)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $$a^2+b^2+c^2+\frac{\sqrt{3}(ab+bc+ac)\sqrt[3]{abc}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge 2(ab+bc+ac)$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh $$a^2+b^2+c^2+\frac{\sqrt{3}(ab+bc+ac)\sqrt[3]{abc}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge 2(ab+bc+ac)$$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ và cố định $a^2+b^2+c^2$. Lúc đó $ab+bc+ca=const$. Vậy nên $\sqrt[3]{abc}$ nhỏ nhất khi $a\leq b=c$.
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+\frac{(3-a)^2}{2}+\frac{\sqrt{3}\left[a(3-a)+\frac{(3-a)^2}{4}\right]\sqrt[3]{\frac{a(3-a)^2}{4}}}{\sqrt{a^2+\frac{(3-a)^2}{4}}}\geq 2\left[a(3-a)+\frac{(3-a)^2}{4}\right]$$
Với $a\in [0;1]$

Khai triển và biến đổi, bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{(2a+3-a^2).\sqrt[3]{\frac{a(3-a)^2}{4}}}{\sqrt{a^2-2a+3}}\geq 2a(2-a)$$
$\bullet$ Nếu $a=0$. Lúc đó bất đẳng thức trở thành đẳng thức.

$\bullet$ Nếu $a>0$. Ta chia cả 2 vế của bđt ch0 $\sqrt[3]{a}$ và viết lại nó thành:
$$\Leftrightarrow f(a)=\frac{\sqrt[3]{(3-a)^2}(2a+3-a^2)}{2\sqrt[3]{4a^2}(3-a)\sqrt{a^2-2a+3}}\geq 1$$
Ta có:
$$f'(a)=\frac{(3-a)^{3/2}.a^{4/3}.(4a^2-5a+3)}{2^{2/3}.(a-3).a^3.(a^2-2a+3)^{3/2}}<0\, \forall a\in[0;1]$$
Vậy nên hàm $f(a)$ là nghịch biến, nhỏ nhất khi $a=1$, lúc đó $f(1)=1$.
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ và các hoán vị $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-02-2013 - 23:39

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
spam chút : sao bạn nghĩ ra cách này =))
--------------
spam : Mình đạo hàm như bình thường bạn ạ :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-02-2013 - 23:41





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh