Chủ đề này có 7 trả lời

[cuong148]

Cho $A,B \in M_{3}{(\mathbb{R})}$ và $det(A)=det(B)=det(A+B)=det(A-B)=0$.Chứng minh rằng $det(xA+yB)=0$ với mọi số thực x,y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 13-02-2013 - 02:25

[vo van duc]

Cho $A,B \in M_{3}{(\mathbb{R})}$ và $det(A)=det(B)=det(A+B)=det(A-B)=0$.

Chứng minh rằng $det(xA+yB)=0$ với mọi số thực x,y

Xét $f(t)=\det (A+tB)=\det B.t^{3}+at^{2}+bt+\det A= at^{2}+bt$

$degf(t)\leq 2$ nhưng có 3 nghiệm phân biệt $0,1,-1$ nên $f(t)=0,\forall t\in \mathbb{R}$

Với $x=y=0$ thì hiển nhiên $\det (xA+yB)=0$

Với $x=0,y\neq 0$ thì $\det (xA+yB)=y^{3}\det B=0$

Với $x\neq 0,y=0$ thì $\det (xA+yB)=x^{3}\det A=0$

Với $x,y\neq 0$ ta xem $\det (xA+yB)$ là hàm số theo biến $y$ và $x$ là một hằng số tùy ý, ta có

$\det (xA+yB)=x^{3}\det (A+\frac{y}{x}B)=x^{3}f(\frac{y}{x})=0$

Vậy $\det (xA+yB)=0,\forall x,y \in \mathbb{R}$

....................
Anh em góp ý thêm nhé! hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-02-2013 - 19:08

[cuong148]

Xét $f(t)=\det (A+tB)=\det B.t^{3}+at^{2}+bt+\det A= at^{2}+bt$
$\det (xA+yB)=x^{3}\det (A+\frac{y}{x}B)=x^{3}f(\frac{y}{x})=0$

Cái phương trình đầu mình tự công nhận ạ?.Có chứng minh được không anh?
Cái cuối nên xét thêm từng cái khác 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 13-02-2013 - 21:35

[GreatLuke]

Cái phương trình đầu mình tự công nhận ạ?.Có chứng minh được không anh?
Cái cuối em nghĩ là x thôi?.Sao lại là $x^3$.

Bạn thử tự chứng minh xem. Cũng sơ cấp thôi mà

[cuong148]

Bạn thử tự chứng minh xem. Cũng sơ cấp thôi mà

ừ.vậy để thử làm.

[cuong148]

ừ.vậy để thử làm.

Vậy mình xin làm vậy.Mọi người góp ý nhé.
Lấy epsilon->0.
Tạm kí hiệu epsilon là e.
$det(A+tB)=det(A+t(B+eI))=det(B+eI)(det(B+eI)^{-1}A+tI)=det(B+eI).(t^3-at^2+bt-det{(B+eI)}^{-1}A))=det(B)t^3-a't^2+b't-det(A)=0$

[GreatLuke]

Vậy mình xin làm vậy.Mọi người góp ý nhé.
Lấy epsilon->0.
Tạm kí hiệu epsilon là e.
$det(A+tB)=det(A+t(B+eI))=det(B+eI)(det(B+eI)^{-1}A+tI)=det(B+eI).(t^3-at^2+bt-det{(B+eI)}^{-1}A))=det(B)t^3-a't^2+b't-det(A)=0$

Nếu $det(B)=0$ thì sao????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-02-2013 - 15:16

[cuong148]

Nếu $det(B)=0$ thì sao????

det(B) bằng 0 ý.:KHông bằng 0 thì xử lí đơn giản.nếu =0 thì xấp xỉ hóa như trên.