Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

Tìm f:$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f\left ( f\left ( x \right )+y \right )= 2x+f\left ( f\left ( y \right ) -x\right )$

[Joker9999]

Tìm f:$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f\left ( f\left ( x \right )+y \right )= 2x+f\left ( f\left ( y \right ) -x\right )$

Lời giải:
Đặt $a=\frac{f(0)-x}{2}\Rightarrow x=f(0)-2a$ đặt $b=-f(a),c=f(b)-a$
Khi ấy : $f(c)=f(f(b)-a)=f(f(a)+b)-2a=f(0)-2a=x$, như vậy $f$ là $1$ toàn ánh, do đó tồn tại $d$ để $f(d)=0$.
Với mọi $y$ ta có: $f(y)=f(f(d)+y)=2d+f(f(y)-d)$
Với mọi $x$ tuỳ ý luôn có $y$ sao cho: $f(y)=x+d\Rightarrow x=f(y)-d$.
Như vậy: $x=f(y)-d=f(f(y)-d)+2d-d=f(f(y)-d)+d=f(x)+d$
Thử lại thấy đúng
KL: $f(x)=x+a$ với $a=\const$