Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-04-2013 - 22:00
Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-04-2013 - 22:00
Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.
Ta lần lượt tính được $BC=SA=2a$
Ta có $\cos \widehat{ACN}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AC^2+CN^2-AN^2}{2AC.CN}=\frac{2a^2+t^2-AN^2}{2\sqrt{2}at}$
$\Rightarrow 2at=2a^2+x^2-AN^2$
$\Rightarrow AN^2=2a^2+x^2-2ax$
Do $SC$ vuông góc với $(ABC)$ nên $SC$ vuông góc với $BC$
$\Rightarrow SN^2=SC^2+CN^2=2a^2+x^2$
P/S: Khi $x=\frac{2a}{3}$ thì ta cũng có luôn $MN$ chính là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 15-04-2013 - 20:17
Tớ thử làm theo cách khác nhé.
Dễ dàng tính được $BC = SA = 2a$
Đặt
$\vec{CA} = \vec{a}$; $\vec{CB} = \vec{b}$; $\vec{CS} = \vec{c}$
Suy ra:
$\bullet \,\, \overrightarrow{b}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} = 0$
$\bullet \,\, \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = a\sqrt{2}.2a.\cos{45^o} = 2a^2$
$\bullet \,\, \left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{c} \right | = a\sqrt{2}; \left | \overrightarrow{b} \right | = 2a$
Ta có:
Từ đó suy ra:
$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}$
$\,\,\,\,\,\,\,\, = (\dfrac{x}{2a} - 1)\vec{a} + \dfrac{x}{2a}\vec{b} - \dfrac{x}{2a}\vec{c}$
Đặt $\dfrac{x}{2a} = k$, ta sẽ có:
$MN^2 = (k - 1)^2 (\vec{a})^2 + k^2(\vec{b})^2 + k^2(\vec{c})^2 + 2(k - 1).k\vec{a}\vec{b}$
$\,\,\,\,\, = (k - 1)^2.2a^2 + k^2.4a^2 + k^2.2a^2 + 2k(k - 1)2a^2$
$\,\,\,\,\, = 2a^2(6k^2 - 4k + 1) = 2a^2[(\sqrt{6}k - \dfrac{2}{\sqrt{6}})^2 + \dfrac{1}{3}] \geq \dfrac{2a^2}{3}$
Vậy: $MN_{min} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $k = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{2a}{3}$
Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.
Trong $(ABC)$, gọi $I$ là điểm nằm trên $AC$ sao cho $IN//AB$
Ta có:
$\left\{\begin{matrix} AB \perp AC\, \, (\Delta ABC \perp A)\\ AB \perp SC\, \, (SC\perp (ABC)) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow AB \perp (SAC)$
Mà $IN//AB$
$\Rightarrow IN \perp (SAC)$
$\Rightarrow IN \perp MI$
$\Rightarrow \Delta MIN \perp I$
Trong $\Delta ABC$, áp dụng định lý $Thales$ ta được $IN=\frac{CN.AB}{CB}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$
Mà $\Delta CIN$ vuông cân tại $I$ nên $CI=IN=\frac{x\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow IA=a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lý hàm $\cos$ trong $MAI$ có $\widehat{MAI}=45^{o}$
$IM=\sqrt{AM^{2}+AI^{2}-2.AM.AI.\cos\widehat{MAI}}=\sqrt{2a^{2}-4ax+\frac{5}{2}x^{2}}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ trong $\Delta MIN \perp I$:
$MN=\sqrt{MI^{2}+IN^{2}}=\sqrt{3x^{2}-4ax+2a^{2}}=\sqrt{(x\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^{2}+\frac{2}{3}a^{2}}\geq \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$
Vậy độ dài $MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$, khi đó $MN=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-04-2013 - 00:52
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh