Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm x để độ dài MN nhỏ nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 ha_cassie

ha_cassie

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-02-2013 - 21:06

Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-04-2013 - 22:00


#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 15-04-2013 - 20:13

Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.

Ta lần lượt tính được $BC=SA=2a$

Ta có $\cos \widehat{ACN}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AC^2+CN^2-AN^2}{2AC.CN}=\frac{2a^2+t^2-AN^2}{2\sqrt{2}at}$

     $\Rightarrow 2at=2a^2+x^2-AN^2$

     $\Rightarrow AN^2=2a^2+x^2-2ax$

Do $SC$ vuông góc với $(ABC)$ nên $SC$ vuông góc với $BC$

    $\Rightarrow SN^2=SC^2+CN^2=2a^2+x^2$

Xét tam giác $SAN$ ta có
       $\cos \widehat{SAN}=\frac{SA^2+AN^2-SN^2}{2SA.AN}=\frac{2a^2+x^2-2ax+4a^2-(2a^2+x^2)}{2\sqrt{2a^2+x^2-2ax}.2a}=\frac{2a-x}{2\sqrt{2a^2+x^2-2ax}}$
Ta có $ \cos \widehat{SAN} = \cos \widehat{MAN}$
     $\Rightarrow \frac{2a-x}{2\sqrt{2a^2+x^2-2ax}}=\frac{MA^2+AN^2-MN^2}{2MA.NA}$
     $\Rightarrow \frac{2a-x}{2\sqrt{2a^2+x^2-2ax}}=\frac{2a^2+x^2-2ax+x^2-MN^2}{2\sqrt{2a^2+x^2-2ax}.x}$
     $\Rightarrow 2ax-x^2=2a^2+2x^2-2ax-MN^2$
     $\Rightarrow MN^2=2a^2+3x^2-4ax=(\sqrt{3}x-\frac{2a}{\sqrt{3}})^2+\frac{2a^2}{3}\geq \frac{2a^2}{3}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MN$ là $a\sqrt{\frac{2}{3}}$ khi $\sqrt{3}x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$

P/S: Khi $x=\frac{2a}{3}$ thì ta cũng có luôn $MN$ chính là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BC$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 15-04-2013 - 20:17

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 16-04-2013 - 00:23

Tớ thử làm theo cách khác nhé.
Dễ dàng tính được $BC = SA = 2a$

Đặt

$\vec{CA} = \vec{a}$; $\vec{CB} = \vec{b}$; $\vec{CS} = \vec{c}$

 
Suy ra:
$\bullet \,\, \overrightarrow{b}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} = 0$

 

$\bullet \,\, \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = a\sqrt{2}.2a.\cos{45^o} = 2a^2$

 

$\bullet \,\, \left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{c} \right | = a\sqrt{2}; \left | \overrightarrow{b} \right | = 2a$

 

Ta có:

 

$\bullet \, M \in AS \Rightarrow \vec{AM} = \dfrac{x}{2a}\vec{AS} = \dfrac{x}{2a}(\vec{c} - \vec{a})$
 
$\bullet \, N \in BC \Rightarrow \vec{CN} = \dfrac{x}{2a}\vec{CB} = \dfrac{x}{2a}\vec{b}$

Từ đó suy ra:
$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}$

 

$\,\,\,\,\,\,\,\, = (\dfrac{x}{2a} - 1)\vec{a} + \dfrac{x}{2a}\vec{b} - \dfrac{x}{2a}\vec{c}$

 

Đặt $\dfrac{x}{2a} = k$, ta sẽ có:
$MN^2 = (k - 1)^2 (\vec{a})^2 + k^2(\vec{b})^2 + k^2(\vec{c})^2 + 2(k - 1).k\vec{a}\vec{b}$

$\,\,\,\,\, = (k - 1)^2.2a^2 + k^2.4a^2 + k^2.2a^2 + 2k(k - 1)2a^2$

 

$\,\,\,\,\, = 2a^2(6k^2 - 4k + 1) = 2a^2[(\sqrt{6}k - \dfrac{2}{\sqrt{6}})^2 + \dfrac{1}{3}] \geq \dfrac{2a^2}{3}$

 

Vậy: $MN_{min} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

 

Dấu "=" xảy ra khi $k = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{2a}{3}$


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#4 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 16-04-2013 - 00:40

Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x(0<x<2a)$.Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.

 

 

Ảnh chụp màn hình_2013-04-16_005101.png

 

 

Trong $(ABC)$, gọi $I$ là điểm nằm trên $AC$ sao cho $IN//AB$

 

Ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} AB \perp AC\, \, (\Delta ABC \perp A)\\ AB \perp SC\, \, (SC\perp (ABC)) \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow AB \perp (SAC)$

 

Mà $IN//AB$

 

$\Rightarrow IN \perp (SAC)$

 

$\Rightarrow IN \perp MI$

 

$\Rightarrow \Delta MIN \perp I$

 

Trong $\Delta ABC$, áp dụng định lý $Thales$ ta được $IN=\frac{CN.AB}{CB}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$

 

Mà $\Delta CIN$ vuông cân tại $I$ nên $CI=IN=\frac{x\sqrt{2}}{2}$

 

$\Rightarrow IA=a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}$

 

Áp dụng định lý hàm $\cos$ trong $MAI$ có $\widehat{MAI}=45^{o}$

 

$IM=\sqrt{AM^{2}+AI^{2}-2.AM.AI.\cos\widehat{MAI}}=\sqrt{2a^{2}-4ax+\frac{5}{2}x^{2}}$

 

Áp dụng định lý $Pythagoras$ trong $\Delta MIN \perp I$:

 

$MN=\sqrt{MI^{2}+IN^{2}}=\sqrt{3x^{2}-4ax+2a^{2}}=\sqrt{(x\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^{2}+\frac{2}{3}a^{2}}\geq \frac{a\sqrt{6}}{3}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$

 

Vậy độ dài $MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow x=\frac{2a}{3}$, khi đó $MN=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-04-2013 - 00:52

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2013 - 15:38

Chấm bài:

Toc Ngan: 10 điểm

 

Phạm Hữu Bảo Chung: 5 điểm

 

hoangtrong2305: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh