Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] - Trận 19 Hình học


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 35 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 15/02/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

3) Trận 19 có 38 toán thủ thi đấu nên sẽ có 14 toán thủ bị loại

BẢNG ĐIỂM MSS TRƯỚC TRẬN 19

Nhóm màu tím là nhóm có nhiều nguy cơ bị loại

msstr19.png


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Đề của MSS52-Nguyen Viet Khanh 6c :
Cho hình chữ nhật $\text{ABCD}$ và điểm $\text{E}$ thuộc cạnh $\text{AD}$. Xác định vị trí các điểm $\text{F}$ thuộc cạnh $\text{AB}$$,$ $\text{G}$ thuộc cạnh $\text{BC}$$,$ $\text{H}$ thuộc cạnh $\text{CD}$ sao cho tứ giác $\text{EFGH}$ có chu vi nhỏ nhất.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Xin lỗi BGK , tự nhiên mạng em lag , chắc post nhầm 1 bài :| , BGK xóa bài trên cho em :D
Bài làm :
Gọi $I , K ,M$ theo thứ tự là trung điểm của $EF ,EG ,GH$
Ta có :
$\Delta AEF$ vuông tại A $\Rightarrow AI =\frac{1}{2}EF$
Tương tự $\Rightarrow MC =\frac{1}{2}{GH}$
Mà IK là đường trung bình của $\Delta EFG \Rightarrow IK =\frac{1}{2}FG$
Tương tự $\Rightarrow KM =\frac{1}{2}EH$
Do đó $C_{EFGH} =2(AI+IK+KM+MC)$
Ta có $AI +IK +KM +MC \geq AC$ ( độ dài đường gấp khúc luôn lớn hơn đô dài đường thẳng)
$\Rightarrow C_{EFGH} \geq 2AC$ :$\text{không đổi}$
Vậy $C_{EFGH} min =2AC .$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $A,I,K,M,C$ thẳng hàng
$\Leftrightarrow EH // AC ,FG //AC ,\angle AEI =\angle EAI =\angle ADB$
$\Leftrightarrow EF //BD$
Tương tự $\Leftrightarrow GH //DB$
$\Leftrightarrow EFGH$ là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD
____________
@Joker: Lời giải chính xác, lập luận tốt

S = 26 + 3*10 + 10 + 10 + 10= 86

Hình gửi kèm

  • mờ ss.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:34
Chấm điểm


#4
anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
Giả sử ta đã dựng được F,G,H đã cho. kẻ AM là trung tuyến của tam giác vuông AEF,, kẻ CN là trung tuyến tam giác CHG. kẻ MO,NO (O là giao điểm 2 đường chéo). Khi đó ta có chu vi tứ giác EFGH=2(AM+MO+ON+NC)$\geqslant$2AC (Nhầm)
khi và chỉ khi EF song song với BD và song song với GH. Tương tự FG song song với AC và song song với EH.
Vậy ta dựng F,G,H sao cho EF song song với BD song song với HG và FG song song với AC và song song với EH


Em không vẽ hình
Điểm bài: 4
S = 26+3*4 = 38

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-02-2013 - 23:22
Chấm bài


#5
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Đề của MSS52-Nguyen Viet Khanh 6c :
Cho hình chữ nhật $\text{ABCD}$ và điểm $\text{E}$ thuộc cạnh $\text{AD}$. Xác định vị trí các điểm $\text{F}$ thuộc cạnh $\text{AB}$$,$ $\text{G}$ thuộc cạnh $\text{BC}$$,$ $\text{H}$ thuộc cạnh $\text{CD}$ sao cho tứ giác $\text{EFGH}$ có chu vi nhỏ nhất.

Ảnh chụp màn hình_2013-02-15_200557.png
Lấy điểm $Q$ đối xứng $E$ qua $A$, điểm $O$ đối xứng $E$ qua $D$, $O$ đối xứng $P$ qua $BC$.
Vậy theo tính chất đối xứng, ta có:
$QF = FE ; EH = OH, GO = GP$
Ta có: $P_{EFGH} = EF + FG + HG + EH = QF + OH + GH + FG$
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác thì ta có:
$QF + FG + HO + GH \geq QG + GO = QG + GP \geq QP$
Vậy các điểm $F, G$ cần dựng là giao của $QP$ và $AB, BC$. $H$ là giao điểm của $GO$ là $DC$

Điểm bài: 10
S = 26+ 3*10 = 56

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-02-2013 - 23:26
Chấm bài


#6
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trung điểm của $EF$, $FH$, $GH$.
Ta có: $EF=2AI$
$EH=2IJ$
$FG=2JK$
$GH=2KC$
$\Rightarrow {{P}_{ABC}}=EF+EH+FG+GH=2(AI+IJ+JK+KC)\ge 2AC$ (Quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc)
Vậy ${{\min }_{{{P}_{ABC}}}}=2AC$ (không đổi)
Khi đó:
$A$, $I$, $J$, $K$, $C$ thẳng hàng.
$\Rightarrow EH\parallel AC,FG\parallel AC$
$\angle AEI=\angle EAC=\angle ADB$
$\Rightarrow EF\parallel BD $

Tương tự, $GH\parallel BD $
$\Rightarrow EF\parallel GH $
Vậy $EFGH$ là hình bình hành.

Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
Đặt $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $EF,FH,GH$
Ta có
$ EF=2AI$
$ EH=2IJ$
$FG=2JK$
$GH=2KC$
$\Rightarrow {{P}_{EFGH}}=2(AI+IJ+JK+KC)\ge 2AC$(Quan hệ đường gấp khúc và đoạn thẳng)
Vậy $Mi{{n}_{{{P}_{EFGH}}}}=2AC$(không đổi)
Khi đó: $A,I,J,K,C$ thẳng hàng
$EH\parallel IJ\Rightarrow EH\parallel AC$
Tương tự $FG\parallel AC$
$\Rightarrow EH\parallel FG$
$\angle AEI=\angle EAI=\angle ADB$
$\Rightarrow EF\parallel BD$
$\Rightarrow GH\parallel BD$
$\Rightarrow EF\parallel GH$
Vậy khi đó tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.
_____________
@Joker: Bài làm đúng nhưng chưa nói rõ hình bình hành đó có đặc điểm gì (các cạnh song song với 2 đường chéo hcn)
d=9
S = 25 + 3*9 = 52

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:36
Chấm bài


#7
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Bài làm của daovuquang:
MSS19.png
Lấy $I,J,K$ lần lượt là $EF, FH, GH$.
$AI$ là đường trung tuyến của $\triangle{AEF}$ vuông tại $A \Rightarrow AI=\frac{EF}{2}$.
Tương tự, $DK=\frac{GH}{2}$. ( Phải là $CK$)
Theo cách vẽ, $IJ//EH$ và $IJ=\frac{EH}{2}$ (theo Talet đảo)
Tương tự, $JK=\frac{FG}{2}$.
Theo bất đẳng thức 3 điểm, ta có:
$EF+FG+GH+HE$
$=2(AI+IJ+JK+KD)$
$\geq 2(AJ+JD)$
$\geq 2AD$. ( Nhầm D vs C ở đây )

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow A,I,J,K,D$ thẳng hàng
$\Leftrightarrow EFGH$ là hình bình hành.
Kết luận: Vậy chu vi tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất $=2AD \Leftrightarrow EFGH$ là hình bình hành. (=2AC chứ)
____________________________________
@Joker: Bài làm về ý tưởng là đúng nhưng nhầm nhiều chỗ. Chắc do chép từ giấy lên đây.
Chấm điểm: d=7

S = 26 + 3*7 = 47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:18
Chấm bài


#8
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
(vẽ hình) lấy M,N là trung điểm EF,HG.Tứ giác EFHG có MN là đường trung bình nên $MN\leq \frac{EH+FG}{2}$ ( Nên lập luận rõ). Lại có $AM=\frac{EF}{2}$ và $CN=\frac{HG}{2}$ Nên: EF+FG+GH+HE $\geq 2(AM+MN+NC)$$\geq 2AC$. Vậy chu vi EFGH $\geq 2AC$ . Để dấu bằng xảy ra thì EH song song FG và M,N thuộc AC nên EFGH là hình bình hành. Cách dung: Từ E vẽ EF song song BD(F thuộc AB), từ F vẽ FG song song AC tương tự ta sẽ có hình bình hành EFGH cần dựng. Tổng quát: Ta có bài toán tong quát hơn: cho E thuộc cạnh AD của tứ giác lồi ABCD, tìm :F,G,H thuộc AB,BC,CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.--> song song $\geq 2AC$$\geq 2AC$$\geq 2AC$$\geq 2AC$$\geq AM+MN+NC$$\geq AM+MN+NC$$\geq AM+MN+NC$$\geq AM+MN+NC$$\geq$$\geq$$\geq$$\geq$$\geq$$CN=\frac{HG}{2}$$CN=\frac{HG}{2}$ Lấy dung

_________
@Joker: Bài giải k có hình vẽ, trình bày thiếu khoa học và lập luận chưa rõ
d=6
S = 24 + 6*3 = 42

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:19
Chấm bài


#9
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Cho em sửa lại bài làm làm của mình. Ở bài làm trước có mấy chỗ em ghi điểm $D$, bây giờ xin sửa lại là $C$. Và điều kiện dấu đẳng thức thêm $EF//BD, FG//AC$ (cho dễ dựng hình)

#10
field9298

field9298

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
Lấy O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD
Lấy I,J,K lần lượt là trung điểm EH,FH và FG
Khi đó IJ,JK lần lượt là đường trung bình của tam giác EFH và FGH
Nên EF=2IJ;GH=2JK
Mặt khác DI,BK lần lượt là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DEH và BFG
Nên EH=2DI;FG=2BK
$P_{EFGH}=EH+EF+GH+FG=2(DI+IJ+JK+BK)\geq 2BD$
Suy ra $MinP_{EFGH}=2BD$ khi và chỉ khi $I,J,K\epsilon BD$
Để $I\epsilon BD$ thì $\widehat{EDI}=\widehat{ABD}$(1)
Mà $\widehat{EDI}=\widehat{HED}$(IE=ID(DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DEH))
$\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ (OA=OD(ABCD là hình chữ nhật))
Nên $(1)\Leftrightarrow \widehat{DAC}=\widehat{HED}\Leftrightarrow EH//AC$(2)
Để $I,J\epsilon BD$ thì EF//BD(IJ là đường trung bình của tam giác EFH nên IJ//EF) và EH//AC(theo (2))
Để $I,J,K\epsilon BD$ thì EF//BD;EH//AC và HG//BD(JK là đường trung bình của tam giác FGH nên JK//HG)
Vậy PEFGH đạt GTNN là 2BD khi EF//GH//BD;EH//AC

Hình vẽ:file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtml1\01\clip_image002.gif

Hình vẽ:http://me.zing.vn/jpt/photodetail/dai_nhannt/665170608
_______________
@Joker: Lời giải đúng nhưng lập luận lằng nhằng
d=10
S = 19 + 10*3 = 49

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:21
Chấm bài


#11
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
VMF.jpg
Lấy M,N,P là trung điểm của EF,EG,GH ,theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong $\Delta$ vuông và tính chất đường trung bình (Chú ý 2 tam giác AEF, GHC vuông có trung tuyến AM,CP & MN,NP là trung bình trong tam giác EFG ,GHE) ta có:
$AM=\frac{EF}{2};MN=\frac{FG}{2};NP=\frac{HE}{2};PC=\frac{GH}{2}$
$\Rightarrow EF+FG+GH+HE=2(AM+MN+NP+PC)\geq 2AC$ ( nên trình bày rõ)
Vậy chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất là 2AC khi AM+MN+NP+PC=AC $\rightarrow$ EFGH là hình bình hành.
Kết luận F,G,H là các điểm thoả mãn EFGH là hình bình hành.
__________________________
@Joker: Lời giải chính xác xong còn vắn tắt, lập luận cần chính rõ ràng hơn
Chấm điểm: d=9

S = 14 + 3*9 = 41

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:22
Chấm bài


#12
NGUYEN MINH HIEU TKVN

NGUYEN MINH HIEU TKVN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
Bổ đề phụ: Trong 1 tứ giác lồi, đường thẳng nối trung điểm 2 cạnh đối luôn nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của 2 cạnh đối còn lại.
===================
Hình vẽ :
File gửi kèm  hình.bmp   1.69MB   1122 Số lần tải
Đề hình: Cho tứ giấc ABCD lồi . M, N là trung điểm AD và BC. Chứng minh
$MN\leq \frac{1}{2}(AB+CD)$
== CHỨNG MINH==
Trên $AC$ lấy $K$ là trung điểm.
Xét $\Delta ADC$ có $MK$ là đường trung bình của tam giác
$\Rightarrow MK = \frac{1}{2}DC$ và $MK \left | \right | DC$
Xét $\Delta ABC$ có $NK$ la đường trung bình tam giác
$\Rightarrow NK =\frac{1}{2}AB$ và $NK\left | \right |AB$
$\Rightarrow NK+ MK =\frac{1}{2}(AB+CD)$
MÀ $NK+ MK \geq MN$
$\Rightarrow MN\leq \frac{1}{2}(AB+CD)$ (đpcm)
====
Trở lại bài toán
hình vẽ : File gửi kèm  hình.bmp   1.69MB   210 Số lần tải
Trên EF lấy I là trung điểm; GH lấy K la trung điểm.Nối A với I, I với K, và K với C
Xét $\Delta AEF$ vuông tại A có AI là trung tuyến
$\Rightarrow 2AI =EF$
tuơng tự với $\Delta CGH$ có GH= 2 .KC
Áp dụng bổ đề có $2IK\leq FG+EH$
$\Rightarrow$ Chu vì $EFGH$ = $EF+FG+GH+EH= 2AI+2KC+2IK$ $\geq 2AC$
Vậy chu vì nhỏ nhất là 2AC khi
A, I,K,C cùg nằm trên AC và FG song song với EH và soang song với AC
=====
Cách dựng
Trên AD lấy E, qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC tại H
Dựng F trên AB sao cho AC cắt EF tại trung diểm EF
Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại G
=================================
Giám khảo thông cảm, Em chưa biết vẽ hình trên diễn đàn
_________________________________________
@Joker: Lời giải đúng. Tham khảo cách vẽ hình trên diễn đàn để BGK đỡ phải tải
d=10
S = 14 + 3*10 + 10 = 54

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:40
Chấm bài


#13
NGUYEN MINH HIEU TKVN

NGUYEN MINH HIEU TKVN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
Cách 2:
HÌNH VẼ : File gửi kèm  hình.bmp   1.7MB   231 Số lần tải
dựng M đối xứng với E qua BC, dựng N đối xứng với E qua AD, dựng P đối xứng với N qua CD, Khi đó
Chu vi EFGH = EF + FG+ GH+ HE = MF +FG+GH+HN ( Vi MF = EF; HN= EH)
$\geq MF+FG+GP >= MP$
Lại có
$MP = \sqrt{MN^{2}+PN^{2}}= \sqrt{4AB^{2}+4AD^{2}}= 2\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=2AC$
Vậy chu vi nhỏ nhất là 2AC. Khi đó F,G là giao điểm của MP,BC và CD còn H lf giao điểm của GN và AD.

#14
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở rộng 1
Cho tứ giác nội tiếp có 1 góc $90^o ABCD$ và $E$ thuộc $AD , F$ thuộc $AB , G$ thuộc $BC, H $ thuộc $CD$ sao cho tứ giác $EFGH$ có chu vi nhỏ nhất

Bài làm
Lấy $J ,K ,L$ lần lượt là trung điểm của $FG , IG , IH $
Tương tự MSS , ta cũng có $C_{EFGH} \geq 2AC $
$\Rightarrow Min C_{EFGH} =2AC$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow EFGH$ là hình thang có trung điểm của cạnh bên nằm trên $AC$


Điểm mở rộng 10

Hình gửi kèm

  • Hình Mss.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:25
Chấm bài


#15
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở rộng 2 :
Bài toán MSS và bài mở rộng đều được cho 1 đặc điểm là góc $(90^o)$ .Mở rộng này sẽ bỏ hết đặc điểm ấy đi , bắt đầu với tam giác .
Cho tam giác $ABC, E,F,G$ thuộc $AB,BC,CA$ .Tìm vị trí của $E,F,G$ dể chu vi $\Delta EFG$ nhỏ nhất.
Bài làm :
Lấy H ,K lần lượt là điểm đối xứng của F qua AB ,AC.
Ta có $C_{EFG} = EH +HG +GK \geq EK$
Mà $\angle HAK =2 \angle ABC :\text{const}$
$\Rightarrow HK min \Leftrightarrow AH min \Leftrightarrow AF min \Leftrightarrow F$ là đường cao của $\Delta ABC$
Và $E$ và $G$ là giao điểm của $EK$ và $AB$ và $AC$.
Dẽ thấy $AE$ và $AG$ là các phân giác góc ngoài $\Delta EGF $
$\Rightarrow FA$ là phân giác $\angle EFG$
$\Rightarrow FA$ là phân giác góc ngoài $\angle EFG$
$\Rightarrow BG$ là phân giác góc trong $\angle EGF$
$\Rightarrow BG \perp AC$
Tương tự $CE \perp AB$
Sử dụng đinh lý hàm cos ( có chưng minh ở đây )
Ta có $HK^2 =2AH^2 -AH^2.cos(2A)$
$\Rightarrow HK =\sqrt{2AH^2 -AH^2.cos(2A)} :\text{Const} $ Do $\Delta ABC :\text{Const}$
Vậy $C_{EFG} Min =\sqrt{2AH^2 -AH^2.cos(2A)} .$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow E,F,G$ là chân các đường vuông góc hạ từ 3 định của $\Delta ABC$

Mở rộng sử dụng kiến thức vượt quá THCS đinh lý hàm cos

Điểm mở rộng 0

Hình gửi kèm

  • Bài làm hình mss.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:26
Chấm bài


#16
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Bài làm của thanhluong:
hinhve.png
BỔ ĐỀ: Nếu $a, b, x, y$ là các số thực dương thì ta có bất đẳng thức:
$$\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \geq \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}$$.
Chứng minh:
Xét hiệu: $(a^2+x^2)(b^2+y^2)-(ab+xy)^2$
$=(ay-bx)^2 \geq 0, \forall a, b, x, y>0$.
$\Rightarrow (a^2+x^2)(b^2+y^2) \geq (ab+xy)^2$.
$\Rightarrow 2\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)} \geq 2(ab+xy)$.
$\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \geq a^2+b^2+x^2+y^2+2ab+2xy$.
$\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2})^2 \geq (a+b)^2+(x+y)^2$.
$\Rightarrow \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \geq \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}$.
Bổ đề được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $ay=bx \Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$.

Trở lại bài toán, áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông $\triangle{AEF}, \triangle{DEH}, \triangle{CHG}, \triangle{BFG}$, ta được:
$EF+FG+GH+HE=\sqrt{EA^2+FA^2}+\sqrt{BF^2+BG^2}+\sqrt{CH^2+CG^2}+\sqrt{DH^2+DE^2}$.
Hay: $P_{EFGH}=\sqrt{EA^2+FA^2}+\sqrt{BF^2+BG^2}+\sqrt{CH^2+CG^2}+\sqrt{DH^2+DE^2}$ $(1)$.
Sử dụng liên tiếp bổ đề phụ trên và định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$, ta được:
$\sqrt{EA^2+FA^2}+\sqrt{DE^2+DH^2}+\sqrt{BG^2+BF^2}+\sqrt{CG^2+CH^2} \geq \sqrt{AD^2+(FA+DH)^2}+\sqrt{BC^2+(BF+CH)^2} \geq \sqrt{(AD+BC)^2+(AB+CD)^2}=2\sqrt{AB^2+BC^2}=2AC$: Không đổi $(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $P_{EFGH} \geq 2AC$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{matrix} \frac{AF}{DH}=\frac{AE}{DE} &&\\ \frac{BF}{CH}=\frac{BG}{CG} &&\\ \frac{AF+DH}{BF+CH}=\frac{AD}{BBC} \end{matrix}\right.$ $(*)$
Vậy: Chu vi tứ giác $EFGH$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2AC$ khi các điểm $F$, $G$, $H$ thoả $(*)$. ( Nên nêu rõ để suy ra EFGH là hình bình hành)

___________________________________
@Joker: Nên lập luận rõ chỗ cuối
d=9
S = 12+3*9 = 39

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:27
Chấm bài

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#17
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
Bổ đề :
Trong một tứ giác thì đoạn thằng nối hai trung điểm cạnh đối diện thì luôn luôn bé thua một nửa tổng hai cạnh còn lại..
Thật vậy

untitleddf.JPG

Ta cần CM $2EF \ge AB+DC$
Trở về bài toán :
Lấy G là trung điểm AC . Ta có:
$2EG=DC;2GF=AB$ $\to AB+BC=2(EG+GF)\ge 2EF$.ĐPCM
afsag.JPG
Lấy $M,N$ là trung điểm của $EF,HG.$
Ta có : $2AM=EF$; $2CN=HG$
Chu vi tứ giác $EFGH=2AM+2CN+(EH+FG)\ge 2AM+2CN+2MN=2(AM+CN+MN)$
$\ge 2AC$ (Ko đổi)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi EG song song với,F song song với HG,4 điểm A,M,N,C thẳng hàng. Hay tứ giác EFHG là hình bình hành và có các cạnh tương ứng song song với đường chéo của hình chữ nhật.
_____________
@Joker: Lời giải chính xác.
d=10

S = 5 + 3*10 = 35

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:30
Chấm bài

@@@@@@@@@@@@

#18
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Cách giải khác:
Bổ đề: Cho $a,b,x,y$ là các số thực. CMR: $\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\geq \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}\; (1)$.
Chứng minh: $(1) \Leftrightarrow \sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\geq ab+xy$.
Nếu $ab+xy<0$ thì $VP<VT$, BĐT đúng.
Nếu $ab+xy\geq 0$, ta bình phương 2 vế: $(a^2+x^2)(b^2+y^2)\geq (ab+xy)^2$
$\Leftrightarrow (ay-bx)^2\geq 0$.
BĐT trên luôn đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$.

Áp dụng vào bài:
MSS19.png
Áp dụng định lí Pytago, ta có: $EF=\sqrt{AE^2+AF^2}; FG=\sqrt{BF^2+BG^2}; GH=\sqrt{CG^2+CH^2}; HE=\sqrt{DH^2+DE^2}$.
Áp dụng bổ đề, ta có:
$EF+FG+GH+HE$
$=\sqrt{AE^2+AF^2}+\sqrt{BG^2+BF^2}+\sqrt{CG^2+CH^2}+\sqrt{DE^2+DH^2}$
$\geq \sqrt{(AE+BG)^2+(AF+BF)^2}+\sqrt{(CG+DE)^2+(CH+DH)^2}$
$\geq \sqrt{(AE+BG+CG+DE)^2+(AF+BF+CH+DH)^2}$
$=2\sqrt{AB^2+BC^2}$
$=2AC$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{BG}{BF}=\frac{CG}{CH}=\frac{DE}{DH}$
$\Leftrightarrow EFGH$ là hình bình hành (với $EF//BD, FG//AC$).

Điểm cách khác: 10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:31
Chấm bài


#19
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Thêm cách nữa. :D
MSS19(1).png

Lấy $E'$ đối xứng $E$ qua $A$, $H'$ đối xứng $H$ qua $C$, $I$ đối xứng $E$ qua $C$.
Theo cách dựng, ta có $E'I=2AC$, $EF=E'F$, $HG=H'G$.
Lại có $\triangle{ECH}=\triangle{ICH'}(c.g.c)$
$\Rightarrow EH=IH'$.
Áp dụng BĐT 3 điểm, ta có:
$EF+FG+GH+HE$
$=E'F+FG+GH'+H'I$
$\geq E'G+GI$
$\geq E'I$
$=2AC$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow E',F,G,H',I$ thẳng hàng
$\Leftrightarrow EFGH$ là hình bình hành (với $EF//BD, FG//AC$)

#20
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết
Hình đã gửi
Gọi I, K, L là trung điểm của EF, FH, HG.
Tam giác AEF vuông tại A có AI là trung tuyến$\Rightarrow AI=\frac{1}{2}EF$.
Tương tự $CL=\frac{1}{2}GH$
IK là đường trung bình tam giác EFH$\Rightarrow IK=\frac{1}{2}EH$
Tương tự $KL=\frac{1}{2}FG$
Do đó chu vi EFGH=EF+FG+GH+HE=2(AI+KL+CL+IK)=2(AI+IK)+2(KL+CL)$\geq 2AK+2CK\geq 2AC$ (độ dài AC không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, I, K, L, C thẳng hàng. Khi đó EH//AC, FG//AC, $\angle AEI=\angle EAI=\angle ADB$ nên EF//DB, GH//DB. Tứ giác EFGH là hình bình hành có cáccạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD
Vậy chu vi tứ giác EFGH đạt GTNN khi và chỉ khi tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với đường chéo của hình chữ nhật ABCD
________________________
@Joker: Lời giải chính xác
d=10

S = 1 + 3*10 = 31

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:32
Chấm bài

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh