B - GIẢI TOÁNI - VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIPCác bước thực hiện:
Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip là: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\,\, (a>b>0)\quad (E)$
Bước 2: Sử dụng các dữ kiện bài toán thiết lập các phương trình để tìm $a,b$
Chú ý các kiến thức liên quan đến $a,b$, chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai, $b^2=a^2-c^2$...
Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(-\sqrt{3};1)$, đường elip $(E)$ đi qua điểm $M$ và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của $(E)$ là $6$. Lập phương trình chính tắc của $(E)$.
Nhận xét: Đây là bài tập cơ bản với các yếu tố đã được cho khá rõ ràng, để làm được bài toán chỉ yêu cầu thuộc các khác khái niệm và kĩ năng biến đổi giải hệ phương trình cơ bản.
Lời giải:Giả sử phương trình chính tắc của $(E)$ là: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\,\, (a>b>0)$
$\Rightarrow$ Hai đường chuẩn của $(E)$ có phương trình là: $\Delta _1:\, x+\dfrac{a}{e}=0;\, \Delta _2:\, x-\dfrac{a}{e}=0$
Do đó khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $2\dfrac{a}{e}=\dfrac{2a^2}{c}$
$\Rightarrow \dfrac{2a^2}{c}=6\Leftrightarrow a^4=9c^2=9\left(a^2-b^2\right) \Leftrightarrow b^2=\dfrac{9a^2-a^4}{9}\quad (1)$
Mặt khác: $M(-\sqrt{3};1)\in (E)\Leftrightarrow \dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=1\quad (2)$
Thế $(1)$ vào $(2)$ và rút gọn ta được: $a^4-12a^2+36=0\Leftrightarrow \left( a^2-6\right) =0\Leftrightarrow a^2=6\Rightarrow b^2=2$.
Đáp số: $(E):\, \dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1.$
Ví dụ 1.2: Thi thử lần 1 - THPT Bỉm Sơn - Thanh Hóa
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lập phương trình chính tắc của elip $(E)$ biết nó có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi của hình chữ nhật cơ sở của $(E)$ là $12(2+\sqrt{3})$.}
Nhận định:Dữ kiện:
chu vi hình chữ nhật cơ sở và
tam giác đều sẽ thiết lập được hai phương trình tìm a và b
+ Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là: $2(2a+2b)$
+ Các đỉnh là $A_{1}(-1;0),A_{2}(1;0),B_{1}(0;-b),B_{2}(0;b)$ và các tiêu điểm là $F_{1}(-c;0),F_{2}(c;0)$
$\rightarrow \Delta B_{1}F_{1}F_{2}$ và $\Delta B_{2}F_{1}F_{2}$ đều $\rightarrow F_{2}B_{2}=F_{1}F_{2}$
+ $a^{2}-c^{2}=b^{2}$
Lời giải:Gọi phương trình chính tắc của elip $(E)$ là: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\,\,(a>b>0)$
Khi đó chu vi của hình chữ nhật cơ sở là $2(2a+2b)$
$\Rightarrow$ $2(2a+2b)=12(2+\sqrt{3})\Leftrightarrow a+b=3(2+\sqrt{3})\quad (1)$
Do các đỉnh $A_{1}(-a;0),\, A_{2}(a;0)$ và $F_{1}(-c;0),\, F_{2}(c;0)$ cùng nằm trên $Ox$ nên theo giả thiết $F_{1},\, F_{2}$ cùng với đỉnh $B_{2}(0;b)$ trên $Oy$ tạo thành một tam giác đều $\Leftrightarrow$$B_2F_{2}=F_{1}F_{2}=B_2F_{1}\quad (*)$
Ta thấy: $F_{1},F_{2}$ đối xứng nhau qua $Oy$ nên $\Delta B_2F_1F_2$ luôn là tam giác cân tại $B_2$
Do đó: $(*)\Leftrightarrow B_2F_{2}=F_{1}F_{2}\Leftrightarrow \sqrt{c^2+b^2}=2c\Leftrightarrow b^2=3c^2$
Lại có: $a^{2}-c^{2}=b^{2}\Rightarrow 3a^2=4b^2\quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $a=6$ và $b=3\sqrt{3}$
Đáp số: $(E):\, \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1$
Ví dụ 1.3:(B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thoi $ABCD$ có $AC=2BD$ và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình $x^{2}+y^{2}=4$. Viết phương trình chính tắc của elip $\left( E\right)$ đi qua các đỉnh $A, B, C, D$ của hình thoi. Biết điểm A nằm trên trục $Ox$
Nhận định- Các đặc điểm của hình thoi:
Đường tròn nội tiếp có phương trình: $x^{2}+y^{2}=4$. (Tâm $O\left( 0;0\right)$, bán kính $R=2$)
Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của hình thoi $\rightarrow$ Gốc tọa độ $O\left( 0;0\right)$ là tâm của hình thoi.
$A\in Ox$ $\rightarrow C\in Ox$, $BD\bot AC \rightarrow B,D\in Oy$
- $A,B,C,D\in \left( E\right)$ nên $A,B,C,D$ là các đỉnh của $\left( E\right)$!
- Như vậy ta đã xác định được mối liên hệ giữa đỉnh của elip với hình thoi, với hai điều kiện $AC=2BD$ và đường tròn nội tiếp hình thoi có bán kính $R=2$ ta sẽ thiết lập được hai phương trình để xác định tọa độ các đỉnh của elip.
Lời giải:Giả sử phương trình của elip $(E)$ là: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$
Ta có: Đường tròn $(C )$: $x^{2}+y^{2}=4$ là đường tròn nội tiếp hình thoi $ABCD$, có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=2$
Vì tâm của $(C )$ là tâm của hình thoi nên $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường
Mà $A\in Ox\Rightarrow C\in Ox$ và $B, D\in Oy$
Lại có: $A,B,C,D\in (E)\Rightarrow A,B,C,D$ là bốn đỉnh của $(E)$
Nếu đổi chỗ A và C cho nhau hoặc B và D cho nhau thì Elip không thay đổi nên ta có thể giả sử $A,B$ lần lượt nằm ở nửa trục dương của $Ox$ và $Oy$, khi đó tọa độ của chúng là $A(a;0), B(0;b)$
$\Rightarrow OA=a, OB=b$. Vì $AC=2BD$ nên $OA=2OB\Rightarrow a=2b$
Kẻ $OH$ vuông góc với $AB$ tại H $\Rightarrow OH=R=2$
Vì tam giác $ABO$ vuông tại $O$ $\Rightarrow \dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{4}{a^{2}}\Leftrightarrow a^{2}=20\Rightarrow b^{2}=5$
Vậy phương trình $(E)$ là: $\dfrac{x^{2}}{20}+\dfrac{y^{2}}{5}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 15-02-2013 - 18:06