Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c\in Z $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau.Chứng tỏ rằng với mọi 3 số nguyên $u,v,w$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $au+bv+cw=0$ thì tồn tại $m,n,p$ nguyên sao cho :
$a=nw-pv$
$b=pu-mw$
$c=mv-nu$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 17-02-2013 - 23:32


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau.Chứng tỏ rằng với mọi 3 số nguyên $u,v,w$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $au+bv+cw=0$ thì tồn tại $m,n,p$ nguyên sao cho :
$a=nw-pv$
$b=pu-mw$
$c=mv-nu$

Giải như sau:
Bổ đề: Cho $x,y$ nguyên, $gcd(x,y)=1$ khi ấy phương trình $n=xp-yq$ có nghiệm nguyên
Chứng minh: Xét dãy $n+y,n+2y,n+3y,...,n+xy$ có $x$ số hạng, hai số có số dư khác nhau đôi mọt khi chia cho $x$ vì giả sử ngược lại $n+iy \equiv n+jy \pmod{x} \Rightarrow (i-j)y \vdots x \Rightarrow i-j \vdots x$ (do $gcd(x,y)=1$) vô lí do $1\lei,j\le x$
Như vậy chúng có số dư đôi một khác nhau mà có $x$ số do đó tồn tại $n+qy \vdots x$ đặt $n+qy=px \Rightarrow n=px-qy$ có nghiệm đây là $đpcm$
$$**********$$
Áp dụng
Ta xét $a=-\dfrac{bv+cw}{u}$ mà $a$ nguyên nên $-\dfrac{bv+cw}{u}$ nguyên
Theo bổ đề do $gcd(w,v)=1$ nên tồn tại $n,p$ sao cho $a=-\dfrac{bv+cw}{u}=nw-pv$
Khi ấy $a+pv \vdots w$ $(1)$
Mặt khác $b=-\dfrac{au+cw}{v}$, ta xét $pu+\dfrac{au+cw}{v}=\dfrac{puv+au+cw}{v}=\dfrac{u(pv+a)+cw}{v}$ mà do $b$ nguyên nên $\dfrac{u(pv+a)+cw}{v}$ nguyên mà $gcd(v,w)=1$ và $a+pv \vdots w$ (theo $(1)$) nên $\dfrac{u(pv+a)+cw}{v}=wm$
Do đó $b=pu-mw$
Thao $a=nw-pv,b=pu-mw$ vào $au+bv+cw=0$ ta thu được $c=mv-nu$ đây là $đpcm$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh