Bài 1: Tìm hệ số của $x^5;y^3; z^6; t^6$ trong khai triển đa thức:
$(x + y + z + t)^{20}$
Bài 2: Xác định hệ số của $x^{11}$ trong khai triển đa thức $(x^2 + 2)^n(3x^3+1)^n$ biết:
$C^{2n}_{2n} - 3C^{2n-1}_{2n} + ...+ (-1)^k3^kC^{2n-k}_{2n}+...+3^{2n}C^0_{2n}= 1024$
Bài 3: Cho P(x) = $(x^3 + \frac{1}{2x^2})^n$
Khai triển P(x) và rút gọn được :
P(x) = $a_ox^{3n} + a_1x^{3n-5} + ... + a_2x^{3n-10}+...$
Biết rằng 3 hệ số đầu $a_o, a_1, a_2$ lập thành 1 cấp số cộng. Tìm số hạng chứa $x^4$
P/s: Mình đang cần gấp vào chiều mai rồi, mn giúp mình nhanh nhé! Tks nhiều lắm! 
Cũng ký hiệu $\left\langle {{x^k}} \right\rangle $ là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển.
Bài 1: Đầu tiên ta xác định hệ số của $x^{5}$,các hệ số khác làm tương tự.
Ta cố định $a=y+z+t$.khi đó :
\[\begin{array}{rcl}
{\left( {x + y + z + t} \right)^{20}} &=& {\left( {x + a} \right)^{20}} = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\binom{20}{k}{a^{20 - k}}{x^k}} \\
\Rightarrow \left\langle {{x^5}} \right\rangle &=& \binom{20}{5}{a^{15}} = \binom{20}{5}{\left( {y + z + t} \right)^{15}}
\end{array}\]
Bài 2: Ta có :
\[1024 = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{{\left( { - 1} \right)}^k}{3^k}\binom{2n}{2n-k}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{{\left( { - 3} \right)}^k}\binom{2n}{k}} = {\left( { - 2} \right)^{2n}} \Leftrightarrow n = 5\]
Xét khai triển :
\[\begin{array}{rcl}
{\left( {{x^2} + 2} \right)^5}{\left( {3{x^3} + 1} \right)^5} &=& \left( {\sum\limits_{k = 0}^5 {\binom{5}{k}{2^{5 - k}}{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{k = 0}^5 {\binom{5}{k}{3^k}{x^{3k}}} } \right)\\
&=& \sum\limits_{0 \le i,j \le 5} {\binom{5}{i}\binom{5}{j}{2^{5 - i}}{3^j}{x^{2i + 3j}}} \\
\Rightarrow \left\langle {{x^{11}}} \right\rangle &=& \sum\limits_{2i + 3j = 11} {\binom{5}{i}\binom{5}{j}{2^{5 - i}}{3^j}}
\end{array}\]
Bài 3: Xét khai triển của $P(x)$ :
\[\begin{array}{rcl}
{\left( {{x^3} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^n} &=& \sum\limits_{k = 0}^n {\binom{n}{k}{x^{3n - 3k}}{{\left( {\frac{1}{{2{x^2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\binom{n}{k}}}{{{2^k}}}{x^{3n - 5k}}} \\
\Rightarrow {a_0} &=& \left\langle {{x^{3n}}} \right\rangle = 1\\
{a_1} &=& \left\langle {{x^{3n - 5}}} \right\rangle = \frac{{\binom{n}{1}}}{2} = \frac{n}{2}\\
{a_2} &=& \left\langle {{x^{3n - 10}}} \right\rangle = \frac{{\binom{n}{2}}}{4} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{8}
\end{array}\]
Do $a_0;a_1;a_2$ lập thành CSC nên ta sẽ có :
\[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{8} + 1 = n \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 1\\
n = 8
\end{array} \right.\]
Phần việc còn lại tương đối dễ dàng rồi
(
