$a^{3}\left ( b^{2}+c^{2} \right )+b^{3}\left ( c^{2}+a^{2} \right )+c^{3}\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq 2$
____________
@Joker: Chú ý Latex.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 18-02-2013 - 22:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 18-02-2013 - 22:43
Lời giải:Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 2;Chứng minh rằng
$a^{3}\left ( b^{2}+c^{2} \right )+b^{3}\left ( c^{2}+a^{2} \right )+c^{3}\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq 2$
$pq^2-(2p^2+q)r\leq 2\Leftrightarrow 2q^2\leq 2+r(8+q)$
TH1: $q\leq 1\Rightarrow 2q^2\leq 2\Rightarrow$ đpcm<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
ngoài phương pháp p,q,r thì em thấy phương pháp hàm số rất hữu dụng trong các bài kiểu nàyLời giải:
Chuyển BDT trên về ngôn ngữ $p,q,r$ và chú ý $p=2$ cần CM:$pq^2-(2p^2+q)r\leq 2\Leftrightarrow 2q^2\leq 2+r(8+q)$
TH1: $q\leq 1\Rightarrow 2q^2\leq 2\Rightarrow$ đpcm
TH2:$q>1$. Dễ có: $q\leq \frac{4}{3}$ do $p=2$. Như vậy áp dụng BDT Schur:$r\geq \frac{8q-8}{9}$ thì cần CM: $10q^2-56q+36\leq 0\Leftrightarrow (q-4,..)(q-0,..)\leq 0$ đúng do $1<q\leq \frac{4}{3}<4$.
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1,c=0$ và các hoán vị.
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
Mình thấy pp đạo hàm này khá hay! cơ mà có một cái mình toàn bị mắc trong quá trình giải là điều kiện của f(t) với t trong khoảng nào đó! mình toàn xác định sai! bạn có chỉ mình cách khắc phục hay cái gì đại loại thế không?ngoài phương pháp p,q,r thì em thấy phương pháp hàm số rất hữu dụng trong các bài kiểu này
Ta có:
A=$a^{3}(b^{2}+c^{2})+b^{3}(c^{2}+a^{2})+c^{3}(a^{2}+b^{2})=\sum a^{2}b^{2}(a+b)=a^{2}b^{2}(a+b)+2c^{2}(a^{2}+b^{2}-2ab(a+b))$
đặt $t=c^{2}$ $0\leq t\leq 4$
ta có A=$f(t)$
là hàm bậc nhất nên $f(t)\leq Max (f(0),f(4))$
$f(4)=0$
xét $f(0)=2ab$ với a+b=2
Vậy Max=2
pm yahoo mình nhé dtvanbinhMình thấy pp đạo hàm này khá hay! cơ mà có một cái mình toàn bị mắc trong quá trình giải là điều kiện của f(t) với t trong khoảng nào đó! mình toàn xác định sai! bạn có chỉ mình cách khắc phục hay cái gì đại loại thế không?
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh