Chủ đề này có 2 trả lời

[kimthoa]

tính tổng :

S=$\frac{1}{1.2}.C_{n}^{0}+\frac{1}{2.3}.C_{n}^{1}+.....+\frac{1}{(n+1).(n+2)}.C_{n}^{n}$

S=$1.2.3.C_{n}^{3}+2.3.4.C_{n}^{4}+...........+(n-2).(n-1).n.C_{n}^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 19-02-2013 - 23:13

[E. Galois]

Tham khảo cách làm ý 2 tại http://diendantoanho...n12n2a2nc-n1n1/

Xét khai triển
$$\left ( 1+x \right )^n = \sum_{k=0}^{n}C^k_nx^k \textbf{ (1)}$$
Nguyên hàm cả hai vế $(1)$ ta được
$$\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} = \sum_{k=0}^{n}C^k_n.\frac{1}{k+1}x^{k+1} + C$$

Để tìm $C$ ta cho $x=0$ ta có $C=\frac{1}{n+1}$. Vậy
$$\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} = \sum_{k=0}^{n}C^k_n.\frac{1}{k+1}x^{k+1} + \frac{1}{n+1} \textbf{ (2)}$$
Nguyên hàm cả hai vế $(2)$ ta được
$$\frac{(1+x)^{n+2}}{(n+2)(n+1)} = \sum_{k=0}^{n}C^k_n.\frac{1}{(k+1)(k+2)}x^{k+2}+ \frac{x}{n+1} + D$$
Thay $x=0$ ta có $D=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
Vậy
$$\frac{(1+x)^{n+2}}{(n+2)(n+1)} = \sum_{k=0}^{n}C^k_n.\frac{1}{(k+1)(k+2)}x^{k+2}+ \frac{x}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$
Thay $x=1$ ta có
$$S=\frac{2^{n+2}}{(n+2)(n+1)} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{2^{n+2}-n-3}{(n+2)(n+1)}$$

[dark templar]

tính tổng :

$S=\frac{1}{1.2}.C_{n}^{0}+\frac{1}{2.3}.C_{n}^{1}+.....+\frac{1}{(n+1).(n+2)}.C_{n}^{n}$

Hình như anh Thế làm thiếu rồi ạ ,thay kết quả $n=2$ sẽ thấy sai ngay

Spoiler

Khúc nguyên hàm lần thứ 2 anh làm thiếu nhân tử $x$ bên VP.

Cách khác vậy

\[\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\binom{n}{k}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} &=& \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\sum\limits_{k = 0}^n {\binom{n+2}{k+2}} \quad \text{(Quy tắc hút)}\\
&=& \frac{{{2^{n + 2}} - \dbinom{n+2}{0} - \dbinom{n+2}{1}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\
&=& \frac{{{2^{n + 2}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
\end{array}\]

E.Galois: Cảm ơn Phúc, mình đã sửa ở trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-02-2013 - 12:51
Cảm ơn Phúc