1.
Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=3\\(z+y)(y-3)(z-3)=8 \qquad (2)
\end{matrix}\right.$
Lời giải. Thay $3=x+y+z$ vào phương trình $(2)$ ta được $(y+z)(x+z)(x+y)=8$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \ge y \ge z$. Khi đó $3=x+y+z \ge 3z \Rightarrow z \le 1$.
Như vậy trong ba số $x+y,y+z,z+x$ thì $x+y$ là số lớn nhất.
Với $x+y <0$ thì $(y+z)(x+z)<0$, tức trong hai số $x+z,y+z$ phải có một số lớn hơn $0$, mâu thuẫn.
Vậy $x+y>0$.
Nếu $x+y=1$ thì $z=2>1$ mâu thuẫn.
Nếu $x+y=2$ thì $z=1$ và $x \ge y \ge 1$ nên $x=y=1$. Thay vào $(2)$ thấy thỏa mãn. Ta tìm được nghiệm $\boxed{(x,y,z)=(1;1;1)}$.
Nếu $x+y=4$ thì $z=-1$ và $x \ge y \ge -1$. Thay vào $(2)$ thì $(x-1)(y-1)=2$. Nhận thấy theo điều kiện đặt ra thì $x-1 \ge y-1$ nên ta có hai khả năng.
Với $x-1=2,y-1=1$ thì $x=3,y=2$, khi đó $x+y=5>4$ mâu thuẫn.
Với $x-1=-1,y-1=-2$ thì $x=0,y=-1$ khi đó $x+y=-1<4$, mâu thuẫn.
Nếu $x+y=8$ thì $z=-5$ và $x \ge y \ge -5$. Thay vào $(2)$ thì $(x-5)(y-5)=1$, ta có hai khả năng:
Với $x-5=y-5=1 \Rightarrow x=y=6$, khi đó $x+y=12>8$, mâu thuẫn.
Với $x-5=y-5=-1 \Rightarrow x=y=4$, thỏa mãn. Ta tìm được $\boxed{(x,y,z)=(4;4;-5)}$.
Vậy hệ có nghiệm $\boxed{(x,y,z)=(1,1,1),(4;4;-5), (4;-5;4),(-5;4;4)}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 19-02-2013 - 22:16
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).