Chủ đề này có 6 trả lời

[cuong148]

Cho ma trận A thực vuông cấp n thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a_{ii}>0 & \\ a_{ij} \leq 0 & (i \neq j)\\ \sum_{i=1}^{n}a_{ij}>0 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $det(A)>0$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-08-2013 - 13:44

[1110004]

Từ giả thiết ta thấy a_ii lớn hơn tổng môdun các phần tử còn lại thuộc cùng một dòng. Đến đây dùng phản chứng giả sử det(A)=0 suy ra các vecto dòng phụ thuộc tuyến tính, lập luận một tí ta được det(A) khác 0. Còn việc det(A) >0 chỉ cần phân tích đa thứ đặc trưng là thấy hết.

(Vì minh soạn không nhanh nên chi nêu ý tương thôi nếu làm thấy trục trặc mình gửi bài của minh lên)

.............
@1110004: Em chú ý viết hoa đầu câu nha! hi. Mình là sinh viên mà. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-02-2013 - 18:11

[cuong148]

Từ giả thiết ta thấy a_ii lớn hơn tổng môdun các phần tử còn lại thuộc cùng một dòng. Đến đây dùng phản chứng giả sử det(A)=0 suy ra các vecto dòng phụ thuộc tuyến tính, lập luận một tí ta được det(A) khác 0. Còn việc det(A) >0 chỉ cần phân tích đa thứ đặc trưng là thấy hết.

(Vì minh soạn không nhanh nên chi nêu ý tương thôi nếu làm thấy trục trặc mình gửi bài của minh lên)

.............
@1110004: Em chú ý viết hoa đầu câu nha! hi. Mình là sinh viên mà. hi

Mong bạn làm rõ ý hơn.Viết toán mà như viết văn vậy mình nghĩ cũng không ai hiểu gì.@@.Ít ra cũng nên cho vài cái chốt chứ.@@

[GreatLuke]

Đề thi của Bách Khoa hình như năm nào câu 2 cũng là chứng minh $det>0$.

[cuong148]

Anh đọc đáp án mà nhứt cả đầu. Chứng minh $\det A\neq 0$ thì đơn giản còn $\det A>0$ thì mệt quá.
Bài này và bài trong 2 đề dự tuyển Olympic SV của ĐH BKHN và ĐH Hồng Đức năm 2012 là tương tự.

Anh post đáp án hoặc file tài liệu lên được không?

[phudinhgioihan]

Cho ma trận A thực vuông cấp n thỏa mãn:
$a_{ii}>0$
$a_{ij} \leq 0 (i \neq j)$
$\sum_{i=1}^{n}a_{ij}>0$
Chứng minh rằng $det(A)>0$

Lời giải này mình tối ưu và hoàn thiện từ ý tưởng dùng giá trị riêng của một anh khóa trên

Nếu các trị riêng của $A$ đều là các số thuần phức, do đó đa thức đặc trưng của $A$ phải bậc chẵn và do đó các nghiệm phức tồn tại thành từng cặp liên hợp $\lambda_i\;,\overline{\lambda_i} \;, i=\overline{1;\frac{n}{2}}$ , khi đó $\det(A)=\prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} \lambda_i \overline{\lambda_i} =\prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} |\lambda_i|^2>0$.

Nếu $A$ có ít nhất một giá trị riêng là số thực, khi đó $A$ có một số chẵn các giá trị riêng phức, gọi $2m \;, m \in \mathbb{N} $ giá trị riêng phức của $A$ là $\lambda'_i $, hiển nhiên các trị riêng phức tồn tại thành từng cặp liên hợp,
do đó $\prod_{i=1}^{2m} \lambda'_i= \prod_{i=1}^m \lambda'_i \overline{\lambda'_i}=\prod_{i=1}^m | \lambda'_i|^2>0$

Giả sử $\det(A)=0$ , ký hiệu $D_1,D_2,...,D_n$ là các dòng của $A$, khi đó tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các dòng của $A$ sao cho

$\sum_{i=1}^n x_iD_i=0 $ với các số thực $x_i$ không đồng thời bằng 0.

Suy ra $\sum_{i=1}^n x_ia_{ij}=0 \;\;, \forall j = \overline{1;n} $

Đặt $|x_k|=\max_{i \in \{1,...,n\}}\{|x_i|\} >0$

Ta có $$\sum_{i=1}^n x_ka_{ik}=0$$

$$\Rightarrow |x_k|a_{kk}=| \sum_{i=1, i \neq k} x_ia_{ik}| \le |x_k| \sum_{i=1, i \neq k} |a_{ik}|$$

$$\Leftrightarrow a_{kk} \le \sum_{i=1, i \neq k} |a_{ik}| =-\sum_{i=1, i \neq k} a_{jk}$$

$$\Leftrightarrow \sum_{i=1} a_{ik} \le 0$$

Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ $\det(A) \neq 0$.

Với $\lambda \in \mathbb{R^-} $, xét $B=A-\lambda I_n $, ta có

$$\begin{cases} b_{ii}= a_{ii}-\lambda >0 \;, \forall i \in \{1,...,n\}\\ b_{ij}=a_{ij}<0 \;, i \neq j\\ \sum_{i=1}^n b_{ij}=\sum_{i=1}^n a_{ij} -\lambda >0\;\;, \forall j = \overline{1;n} \end{cases} $$

Vậy $A$ và $B$ có dạng tương tự nhau, do đó $\det(B) \neq 0$ nên $A$ không thể có các trị riêng không dương, do đó các trị riêng thực của $A$ đều là số dương, giả sử $n-2m$ trị riêng thực của $A$ là $\lambda_i>0 \;, i=\overline{1;n-2m}$ , khi đó

$\det(A)=\prod_{i=1}^{n-2m} \lambda_i \prod_{j=1}^{2m} \lambda'_j >0 $

Vậy ta có đpcm.

[vo van duc]

Bài này từ rất lâu cũng đã được thảo luận. hi]

http://diendantoanho...-người-một-bai/