Bài 1:Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ thoả mãn: $2a+3b+6c=0$
- Tính $a,b,c$ theo $f(0), f(1),f(\frac{1}{2})$
- Chứng minh rằng ba số $f(0), f(1), f(\frac{1}{2})$ không cùng dấu
- CMR pt $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm trong $(0;1)$
Bài 2:Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn: $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$- CMR $af(\frac{m}{m+1})<0$ với $a\neq 0$
- Cho $a>0$, $c<0$, chứng minh rằng $f(1)>0$
- CMR pt $ax^2 +bx+c=0$ có nghiệm trong $(0;1)$
Bài 3:Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $\alpha$, $ \beta $ là hai số dương bất kì.
CMR: pt $f(x)=\frac{\alpha f(a)+\beta f(b)}{\alpha +\beta }$ có nghiệm trên $[a;b]$
Bài 1
1. $f(0)=c$
$f(1)=a+b+c$
$f(\frac{1}{2})=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
giải phương trình 3 ẩn $a,b,c$ ta có
$a=2f(1)+2f(0)-4f(\frac{1}{2})$
$b=4f(\frac{1}{2})-f(1)-3f(0)$
$c=f(0)$
2.
ta có
$2a+3b+6c=0\Leftrightarrow f(1)+4f(\frac{1}{2})+f(0)=0$
nên $f(1),f(\frac{1}{2}),f(0)$ không cùng dấu
3.
từ 2 ta có phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong các khoảng
$(0,\frac{1}{2})$ hoặc $(\frac{1}{2},1)$ hoặc $(0,1)$
Bài 2.
1.
$af(\frac{m}{m+1})=\frac{a^{2}m^{2}}{(m+1)^{2}}+\frac{abm}{m+1}+ac$
với $c=-(\frac{am}{m+2}+\frac{bm}{m+1})$
nên
$af(\frac{m}{m+1})=\frac{-a^{2}m}{(m+2)(m+1)^{2}}$
ta lại có
nếu $m+2\leq 0$ thì $m+1< 0$ $m<0$
nên $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}< 0$ vô lý
ta có đpcm
2.
ta có
$f(1)=a+b+c=a+b-\frac{am}{m+2}+\frac{bm}{m+1}=\frac{2a}{m+2}+\frac{b}{m+1}=\frac{a}{m+2}-\frac{c}{m}$
3.
nếu $c< 0$ theo 2.
$f(1)> 0$
$f(0)=c< 0$
ta có đpcm
nếu $c> 0$
theo 2 ta có ngay $f(1)< 0$ true
Bài 3
Ta có phương trình
$f(x)=\frac{mf(a)+nf(b)}{m+n}$
tương đương với
$m(f(x)-f(a))=n(f(b)-f(x))$
xét tại $x=m$$x=n$ ta có
$m(f(m)-f(a))=n(f(b)-f(m))$
$m(f(n)-f(a))=n(f(b)-f(n))$
từ 2 điều trên ta có
$\frac{f(m)-f(a)}{f(n)-f(a)}=\frac{f(b)-f(m)}{f(b)-f(n)}$
$\Leftrightarrow f(m)(f(b)-f(a))=f(n)(f(a)-f(b))$$\Leftrightarrow f(n)f(m)\leq 0$
ta có đpcm
