Mở rộng 1 :Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $2a +2b+c \geq 10 $ & $a \leq b$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+4b^2}+\sqrt{4(a^2+b^2)+c^2} +a^4 +b^3 +c^2 +b -2c -\frac{248a}{27}$
Bài làm :
@) Xét : $a^4 +b^3 +c^2 +b -2c $
Ta có ( Sử dụng Cauchy )
$a^4 +(\frac{10}{6})^4+(\frac{10}{6})^4+(\frac{10}{6})^4 \geq 4a.(\frac{10}{6})^3$
$b^3 +(\frac{10}{6})^3+(\frac{10}{6})^3 \geq 3b(\frac{10}{6})^2$
$c^2 +(\frac{10}{3})^2 \geq 2c.\frac{10}{3}$
Vậy
$\Rightarrow a^4 +b^3 +c^2 +3(\frac{10}{6})^4 +2(\frac{10}{6})^3 +(\frac{10}{3})^2 \geq 4a.(\frac{10}{6})^3+3b(\frac{10}{6})^2+2c.\frac{10}{3}$
$\Rightarrow a^4 +b^3 +c^2 +b -2c +3(\frac{10}{6})^4 +2(\frac{10}{6})^3 +(\frac{10}{3})^2 -\frac{248a}{27} \geq 4a.(\frac{10}{6})^3+3b(\frac{10}{6})^2+2c.\frac{10}{3}+b-2c -\frac{248a}{27}$
$\Rightarrow a^4 +b^3 +c^2 +b -2c +3(\frac{10}{6})^4 +2(\frac{10}{6})^3 +(\frac{10}{3})^2 -\frac{248a}{27} \geq \frac{28}{3}(a+b+\frac{c}{2}) \geq \frac{28}{3} .5 =\frac{140}{3}$
$\Rightarrow a^4 +b^3 +c^2 +b -2c-\frac{248a}{27} \geq \frac{85}{27}$
@) Xét : $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+4b^2}+\sqrt{4(a^2+b^2)+c^2}$
Nhận xét :
---$2(x^2 +y^2) \geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow x^2 +y^2 \geq 2xy$
$\Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0 :\text{Luôn đúng}$
---$3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2) \geq 2xy+2xz+2yz$
$\Leftrightarrow (x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2 \geq 0 :\text{Luôn đúng}$
Ta có (áp dụng nhận xét )
$\sqrt{a^2+b^2} \geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}$
$ \sqrt{c^2+4b^2} \geq \frac{c+2b}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{4(a^2+b^2)+c^2} \geq \frac{2a+2b+c}{\sqrt{3}} \geq \frac{10}{\sqrt{3}}$
Vậy
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+4b^2}+\sqrt{4(a^2+b^2)+c^2} \geq \frac{a+3b+c}{\sqrt{2}} +\frac{10}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+4b^2}+\sqrt{4(a^2+b^2)+c^2} \geq \frac{2a+2b+c}{\sqrt{2}} +\frac{10}{\sqrt{3}} $ :$\text{Do $b \geq a$}$
$\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+4b^2}+\sqrt{4(a^2+b^2)+c^2} \geq \frac{10}{\sqrt{2}} +\frac{10}{\sqrt{3}}$
Cộng Lại ta có :
$P \geq \frac{10}{\sqrt{2}} +\frac{10}{\sqrt{3}} +\frac{85}{27}$
Vậy $P_{min} = \frac{10}{\sqrt{2}} +\frac{10}{\sqrt{3}} +\frac{85}{27}$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{5}{3} , c=\frac{10}{3}$
Điểm mở rộng 10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 17:36
Ghi điểm