Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$.
Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.
Ta giải bài này như sau:
Bổ đề 1: Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây cung $AB$. Đường tròn tâm $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc $AB$ tại $D$. Khi đó, $CD$ đi qua trung điểm $M$ của cung $AB$ không chứ $C$
Chứng minh:
Ta có: $\frac{CI}{CO}=\frac{ID}{OM}$
Theo hệ quả của định lí Thales, ta có $ID \parallel OM$
Mà $ID \perp AB$
Suy ra $OM \perp AB$ hay $M$ là trung điểm cung $AB$
Bổ đề 2: (Định lí Monge) Cho ba đường tròn $(I)$, $(J)$, $(K)$. Khi đó, ba tâm vị tự ngoài của hai trong ba đường tròn trên thẳng hàng
Việc chứng minh định lí trên khá đơn giản bằng Menelaus
Quay lại bài toán:
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $(J)$ nằm khác phía với $(I)$ bờ $AB$
$(I)$ và $(J)$ tiếp xúc ngoài nên sẽ có một tiếp tuyến chung trong
Vì $(I)$ và $(J)$ đều tiếp xúc $AB$ và nằm khác phía với $AB$ nên $AB$ là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn trên
Vậy $(J)$ cũng tiếp xúc $AB$ tại $D$
Gọi tiếp điểm của $(J)$ với $(O)$ là $E$, trung điểm cung $AB$ không chứa $E$ là $F$
Theo bổ đề 1, $E,F,D$ thẳng hàng
Vì vậy, ta có cách dựng sau:
$CD$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $C$
$MO$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $M$
$FD$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $F$
Dựng đường trung trực của $ED$ cắt $OE$ tại $J$
Vẽ đường tròn tâm $J$ bán kính $JE$
Đây chính là đường tròn cần dựng
Trường hợp 2: $(J)$ nằm cùng phía với $(I)$ bờ $AB$
Gọi tiếp điểm của $(J)$ với $(O)$ và $AB$ là $E,H$, giao điểm của $IJ$ với $AB$ là $K$
Áp dụng bổ đề 2 cho ba đường tròn $(O)$, $(I)$, $(J)$, ta có $K,C,E$ thẳng hàng
Mặt khác, vì $M$ nằm trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J)$ (có thể chứng minh tứ giác $CDHE$ nội tiếp bằng biến đổi góc) nên nếu ta kẻ tiếp tuyến $MG$ của $(I)$, ta có $G$ cũng là tiếp điểm của $(J)$ khi tiếp xúc với $(I)$
Suy ra $I,G,K$ thẳng hàng
Như vậy điểm $K$ hoàn toàn có thể dựng được, từ đây ta có cách dựng sau:
Dựng trung điểm của $MI$
Vẽ đường tròn đường kính $MI$ cắt $(I)$ tại $G,T$
Dựng $K$ là giao điểm của $IG$ với $AB$
$KC$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $C$
$ME$ cắt $AB$ tại $H$
Dựng đường trung trực của $HE$ cắt $OE$ tại $J$
Vẽ đường tròn $(J)$ bán kính $JE$
Đây chính là đường tròn cần dựng
Biện luận:
Ở trường hợp 1, vì các điểm xác định duy nhất nên ta có một nghiệm hình
Ở trường hợp 2, ta có 2 giao điểm của đường tròn đường kính $MI$ với $(I)$ nên có hai nghiệm hình
Kết luận:
Có thể dựng được ba đường tròn $(J)$ thoả mãn ycđb