Đến nội dung


Hình ảnh

Dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$

black selena

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 26-02-2013 - 22:40

Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$.
Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-05-2014 - 21:18

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2014 - 12:12

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng       @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng       @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 13/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng       @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2014 - 14:38

:( mình làm mà không lập luận gì cả...                                            >:) đã nói rồi cậu không làm được đâu

 

:) không...mục đích mình tham gia diễn đàn là để giao lưu, học hỏi.          >:) nói hay vậy... :luoi   

tuy không làm được nhưng mình vẫn cảm thấy vui vì học tập

được nhiều điều bổ ích từ bài toán... :mellow: 

 

 

 

hãy nhớ:"không có việc gì là không thể nếu chúng ta tự tin rằng mình có thể làm được".


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 13-05-2014 - 17:21


#4 huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2014 - 15:22

Em đã vẽ hình và lưu vào files rồi :lol:, Vì mới thực hành nên vẽ còn một chút cẩu thả nhưng đúng như yêu cầu đề bài cho là được phải không thầy cô! :mellow:

:) Em hi vọng mình sẽ vẽ đúng

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 12-05-2014 - 15:25


#5 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-05-2014 - 16:14

Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$.
Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.

Ta giải bài này như sau:

Bổ đề 1: Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây cung $AB$. Đường tròn tâm $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc $AB$ tại $D$. Khi đó, $CD$ đi qua trung điểm $M$ của cung $AB$ không chứ $C$

Capture.PNG

Chứng minh:

Ta có: $\frac{CI}{CO}=\frac{ID}{OM}$

Theo hệ quả của định lí Thales, ta có $ID \parallel OM$

Mà $ID \perp AB$

Suy ra $OM \perp AB$ hay $M$ là trung điểm cung $AB$

Bổ đề 2: (Định lí Monge) Cho ba đường tròn $(I)$, $(J)$, $(K)$. Khi đó, ba tâm vị tự ngoài của hai trong ba đường tròn trên thẳng hàng

Việc chứng minh định lí trên khá đơn giản bằng Menelaus

Quay lại bài toán:

Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $(J)$ nằm khác phía với $(I)$ bờ $AB$

$(I)$ và $(J)$ tiếp xúc ngoài nên sẽ có một tiếp tuyến chung trong

Vì $(I)$ và $(J)$ đều tiếp xúc $AB$ và nằm khác phía với $AB$ nên $AB$ là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn trên

Vậy $(J)$ cũng tiếp xúc $AB$ tại $D$

Gọi tiếp điểm của $(J)$ với $(O)$ là $E$, trung điểm cung $AB$ không chứa $E$ là $F$

Theo bổ đề 1, $E,F,D$ thẳng hàng

Vì vậy, ta có cách dựng sau:

$CD$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $C$

$MO$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $M$

$FD$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $F$

Dựng đường trung trực của $ED$ cắt $OE$ tại $J$

Vẽ đường tròn tâm $J$ bán kính $JE$

Đây chính là đường tròn cần dựng

Capture1.PNG

Trường hợp 2: $(J)$ nằm cùng phía với $(I)$ bờ $AB$

Gọi tiếp điểm của $(J)$ với $(O)$ và $AB$ là $E,H$, giao điểm của $IJ$ với $AB$ là $K$

Áp dụng bổ đề 2 cho ba đường tròn $(O)$, $(I)$, $(J)$, ta có $K,C,E$ thẳng hàng

Mặt khác, vì $M$ nằm trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J)$ (có thể chứng minh tứ giác $CDHE$ nội tiếp bằng biến đổi góc) nên nếu ta kẻ tiếp tuyến $MG$ của $(I)$, ta có $G$ cũng là tiếp điểm của $(J)$ khi tiếp xúc với $(I)$

Suy ra $I,G,K$ thẳng hàng

Như vậy điểm $K$ hoàn toàn có thể dựng được, từ đây ta có cách dựng sau:

Dựng trung điểm của $MI$

Vẽ đường tròn đường kính $MI$ cắt $(I)$ tại $G,T$

Dựng $K$ là giao điểm của $IG$ với $AB$

$KC$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $C$

$ME$ cắt $AB$ tại $H$

Dựng đường trung trực của $HE$ cắt $OE$ tại $J$

Vẽ đường tròn $(J)$ bán kính $JE$

Đây chính là đường tròn cần dựng

Capture2.PNG

Biện luận:

Ở trường hợp 1, vì các điểm xác định duy nhất nên ta có một nghiệm hình

Ở trường hợp 2, ta có 2 giao điểm của đường tròn đường kính $MI$ với $(I)$ nên có hai nghiệm hình

Kết luận:

Có thể dựng được ba đường tròn $(J)$ thoả mãn ycđb



#6 huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2014 - 16:18

em xin vẽ trường hợp 2

khi hai đường tròn (I) và (J) nằm cùng phía với nhau trên mặt phẳng bờ AB.

File gửi kèm



#7 huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2014 - 16:26

hix..hix...Bài mình chắc làm sai mất rồi 

Bài của thầy LNH lập luận logic và rất chặt chẽ mới thật là chính xác và đầy đủ... :like  :o



#8 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 12-05-2014 - 16:28

hix..hix...Bài mình chắc làm sai mất rồi 

Bài của thầy LNH lập luận logic và rất chặt chẽ mới thật là chính xác và đầy đủ... :like  :o

Mình mới lớp 10 thôi, không phải thầy :))



#9 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 12-05-2014 - 20:41

Bạn LNH đã giải rất tốt bài này.Mình chỉ xin góp một ý nhỏ là nên giảm tối đa các bước nếu có thể.

 

Chẳng hạn ở $\textbf{TH1}$ (các đường tròn $(J)$ và $(I)$ khác phía đối với đường thẳng $AB$) có thể làm như sau :

- Dựng đường trung trực của đoạn $AB$ cắt cung $AB$ chứa $C$ tại $F$

- Dựng $E=FD\cap (O)$ ($E$ khác $F$)

- Dựng trung trực của đoạn $DE$ cắt $OE$ tại $J$

- Dựng đường tròn tâm $J$, bán kính $JE$

(Bỏ được bước vẽ đường thẳng $CD$)

 

Còn ở $\textbf{TH2}$ (các đường tròn $(J)$ và $(I)$ cùng phía đối với đường thẳng $AB$) thì làm như sau :

- Dựng đường trung trực của đoạn $AB$ cắt cung $AB$ không chứa $C$ tại $M$

- Dựng đường tròn đường kính $IM$ cắt $(I)$ tại $G$ (và $T$)

- Dựng $K=IG\cap AB$

- Dựng $E=KC\cap (O)$ ($E$ khác $C$)

- Dựng $J=OE\cap IK$

- Dựng đường tròn tâm $J$, bán kính $JE$

(Bỏ các bước vẽ đoạn $ME$ và đường trung trực của $HE$, thay bằng vẽ đoạn $OE$)

 

Dù sao bạn LNH cũng rất xứng đáng là người có công đầu giải bài toán này !


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: black selena

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh