Chủ đề này có 2 trả lời

[kazehikaru]

1. tính các góc của tam giác ABC, thỏa:
$\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C=4$

2. tam giác ABC thỏa
$\cos A+\cos B+\cos C=2(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)$
chứng minh tam giác ABC đều

cám ơn các bạn nhiều!

[N H Tu prince]

1. tính các góc của tam giác ABC, thỏa:
$\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C=4$

2. tam giác ABC thỏa
$\cos A+\cos B+\cos C=2(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)$
chứng minh tam giác ABC đều

cám ơn các bạn nhiều!

Có rất nhiều cách làm,ở đây mình sử dụng phương pháp vector,phương pháp thường dùng để chứng minh các BDT liên quan đến hàm cos
1.Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC,bán kính r,Gọi M,N,P là các tiếp điểm của (I,r) với CA,AB,BC

Ta có $0\le (\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP})^2=8r^2+2(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}+2\sqrt{3}\overrightarrow{IP}.\overrightarrow{IM})$
Mà $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=r^2.cos \widehat{MIN}=-r^2.cosA$(vì $\widehat{MIN}$ và $\widehat{A}$ là 2 góc bù nhau)
Suy ra:
$0\le 8r^2-2r^2(\sqrt{3}cosA+2cosB+2\sqrt{3}cosC)=>\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C\le 4$
Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{0}=>\left\{\begin{matrix}
(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})^2=(2\overrightarrow{IP})^2 \\
(\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=3IM^2
\end{matrix}\right.$
$=>\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=0,\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}=\frac{-1}{2}$
Từ đó suy ra $\widehat{A}=90^o,\widehat{B}=60^o,\widehat{C}=30^o$
2.Xét $0\le (\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IP})^2=3r^2-2r^2(cosA+cosB+cosC)$
$=>cosA+cosB+cosC\le \frac{3}{2}$
$=>(cosA+cosB+cosC)^2\le \frac{3}{2}(cosA+cosB+cosC)$
Từ giả thiết suy ra $(cosA+cosB+cosC)^2\le 3(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)$
$=>(cosA-cosB)^2+(cosB-cosC)^2+(cosC-cosA)^2\le 0$
$=>cosA=cosB=cosC=>...!$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 01-03-2013 - 01:27

[thanhdotk14]

Có rất nhiều cách làm,ở đây mình sử dụng phương pháp vector,phương pháp thường dùng để chứng minh các BDT liên quan đến hàm cos
1.Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC,bán kính r,Gọi M,N,P là các tiếp điểm của (I,r) với CA,AB,BC

Ta có $0\le (\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP})^2=8r^2+2(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}+2\sqrt{3}\overrightarrow{IP}.\overrightarrow{IM})$
Mà $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=r^2.cos \widehat{MIN}=-r^2.cosA$(vì $\widehat{MIN}$ và $\widehat{A}$ là 2 góc bù nhau)
Suy ra:
$0\le 8r^2-2r^2(\sqrt{3}cosA+2cosB+2\sqrt{3}cosC)=>\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C\le 4$
Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{0}=>\left\{\begin{matrix}
(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})^2=(2\overrightarrow{IP})^2 \\
(\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=3IM^2
\end{matrix}\right.$
$=>\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=0,\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}=\frac{-1}{2}$
Từ đó suy ra $\widehat{A}=90^o,\widehat{B}=60^o,\widehat{C}=30^o$

Cách khác:
Đặt $\vec{e_1}=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB},\vec{e_2}=\frac{\overrightarrow{BC}}{BC},\vec{e_3}=\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}$
$\Rightarrow \left | \vec{e_1} \right |=\left | \vec{e_2} \right |=\left | \vec{e_3} \right |=1$ và $\vec{e_1}\vec{e_2}=-cosB,\vec{e_2}\vec{e_3}=-cosC,\vec{e_3}\vec{e_1}=-cosA$
Lại có:
$$\left ( \vec{e_1}+2\vec{e_2} +\sqrt{3}\vec{e_3}\right )\geq 0 (*)$$
Khai triển (*) và vận dụng những giả thiết ở trên thì ta được:
$$\sqrt{3}cosA+2cosB+2\sqrt{3}cosC\leq 4$$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \vec{e_1}+2\vec{e_2}=-\sqrt{3}\vec{e_3} & & \\ \vec{e_1}+\sqrt{3}\vec{e_3}=-2\vec{e_2} & & \\ 2\vec{e_2}+\sqrt{3}\vec{e_3}=-\vec{e_1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B=60^{\circ} & & \\ A=90^{\circ}& & \\ C=30^{\circ}\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 01-03-2013 - 17:02