Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] Trận 21 - Phương trình nghiệm nguyên, đồng dư


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 32 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 01/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

3) Trận 21 có 23 toán thủ thi đấu nên sẽ có 7 toán thủ bị loại

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả mãn:
$$x^{2}-5x+7=3^{y}$$
Đề của anhminhkhon

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả mãn:
$$x^{2}-5x+7=3^{y}$$
Đề của anhminhkhon

Bài làm của MSS01 - BlackSelena:
Xét $y= 0$ thì $x^2 - 5x + 7 = 1$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ x=3 \end{bmatrix}$
Xét $y=1$, ta có:
$x^2 - 5x + 7 = 3$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-4) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=4 \end{bmatrix}$
Xét $y \geq 2 \Rightarrow 3^{y} \vdots 9$
Mặt khác, xét VT: $x^2 - 5x + 7 = (x-7)(x+2) + 21$
Để ý $x-7 - (x+2) = - 9 \ \vdots 9$, vậy $(x-7)$ và $(x+2)$ có cùng số dư khi chia cho $9$
* Trường hợp 1: $x-7$ và $x+2$ cùng chia hết cho $9$
$\Rightarrow (x-7)(x+2) \ \vdots 9$, mà $21 \ \not\vdots 9$ nên $VT \ \not\vdots 9$ (vô lý do $VP \ \vdots 9$)
* Trường hợp 2: $x-7$ và $x+2$ cùng không chia hết cho $9$
$\Rightarrow (x-7)(x+2) \ \not\vdots 3$, mà $21 \ \vdots 3$ nên $VT \ \not\vdots 3$ (vô lý do $VP \ \vdots 9 \ \vdots 3$)
Vậy với trường hợp $y \geq 2$ thì phương trình vô nghiệm tự nhiên.
Kết luận, phương trình có nghiệm tự nhiên $(x,y)=(2;0),(3;0),(4;1),(1;1)$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 20-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+20+0=75$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:03


#4
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả mãn:
$$x^{2}-5x+7=3^{y}$$
Đề của anhminhkhon

Bài làm :
Nhận xét :
Với $x \vdots 3 \Rightarrow 3^y \equiv 1 mod 3 \Rightarrow y= 0$
Thay vào ta có $x^2 -5x +7 =1 \Leftrightarrow x^2 -5x +6 =0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) =0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$
-----Ta xét :
$x^2 -5x +7 =3^y$ ( với $y \geq 1$ )
$\Leftrightarrow x^2 -5x+4 =3^y -3$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-4) =3(3^{y-1} -1) $
Vì $3(3^{y-1} -1) \geq 0$
$\Rightarrow x \geq 4$ hoặc $x =1$
Vậy với y=1 thì x =4 hoặc x =1
Ta xét $x > 4$ và $y >1$
$\Rightarrow (x-1)(x-4) \vdots 3$
mà khi $x-1 \vdots 3$ thì $x-4$ cũng $\vdots 3$
$\Rightarrow (x-1)(x-4) \vdots 9$
mà $3(3^{y-1} -1)$ không chia hết cho 9
$\Rightarrow$ loại
Vậy ta chỉ có những cặp nghiệm sau :
$(x;y) =(2,0) , (3,0) ,(4,1) (1,1)$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 20-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.8+20+10=79$
Xét thiếu trường hợp trong bài làm (tuy có comment bổ sung nhưng trừ điểm cho chú ý bài làm), có thêm cách giải khác cũng khá hay nên cộng 10 điểm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:05


#5
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Cho e thêm 1 trường hợp xét x= 0 và loại vài bài trên. em xin lỗi BTC :D

#6
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Bài làm của daovuquang:
Viết lại phương trình: $x^2-5x+7=3^y\; (1)$
TH1: $y=0$ thì $(1) \Leftrightarrow x^2-5x+7=1$
$\Leftrightarrow x^2-5x+6=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0$
$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$.

TH2: $y=1$ thì $(1) \Leftrightarrow x^2-5x+7=3$
$\Leftrightarrow x^2-5x+4=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$.

TH3: $y\geq 2$:
Ta có: $(1) \Leftrightarrow (x^2-2x+1)=3^y+3x-6$
$\Leftrightarrow (x-1)^2=3^y+3x-6$.
Vì $3^y+3x-6 \vdots 3 \Rightarrow (x-1)^2 \vdots 3 \Rightarrow (x-1) \vdots 3 \Rightarrow x-1=3k$ (với $k \in \mathbb{N}$
Thay vào $(1)$, ta có: $(3k+1)^2-5(3k+1)+7=3^y$
$\Leftrightarrow 9k^2+6k+1-15k-5+7=3^y$
$\Leftrightarrow 9k^2-9k+3=3^y$.
Đến đây nhận thấy vế phải chia hết cho $9$ (vì $y \geq 2$), còn vế trái chia $9$ dư $3$ nên phương trình vô nghiệm tự nhiên.
Kết luận: Vậy $(x;y)=(2;0);(3;0);(1;1);(4;1)$.
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 21-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:07


#7
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả mãn:
$$x^{2}-5x+7=3^{y}$$
Đề của anhminhkhon

*) Nếu y=0 thì $x^2-5x+6=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0$
Ta có 2 cặp nghiệm $(x;y) \in\left \{ (2;0);(3;0) \right \}$
*) Nếu y=1 thì $x^2-5x+4=0\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0$
Ta có tiếp 2 cặp nghiệm $(x;y) \in \left \{(1;1);(4;1) \right \}$
*) Nếu $y\geq 2\Rightarrow 3^y\vdots 9$ (hay chia hết cho 3)
$PT\Leftrightarrow (x-1)(x-4)+3=3^y$
Do $(x-1)-(x-4)=3$ nên $x-1\equiv x-4(mod3)$
+) Nếu $x-1 \vdots 3$ thì $(x-1)(x-4) \vdots 9$
$\Rightarrow (x-1)(x-4)+3 $ chia 9 dư 3 (Loại)
+) Nếu $x-1$ ko chia hết cho 3 thì $x-4$ ko chia hết cho 3 dẫn đến $(x-1)(x-4)+3$ cũng ko chia hết cho 3 (Loại)
Kết luận PT có 4 cặp nghiệm là : $(x;y)\in \left \{ (2;0);(3;0);(1;1);(4;1) \right \}$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 21-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:08


#8
The gunners

The gunners

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
Xét 3 trường hợp $x=3k$ ; $x=3k+1$; $x=3k+2$ (với k là số tự nhiên) .Ta có:
+Với $x=3k$ thì pt đã cho trở thành:
$9k^2-15k+7=3^y$ (1)
Vì $(9k^2-15k+7)\equiv 1$ (mod 3)
nên $3^y \equiv 1$ (mod 3)
$\Leftrightarrow 3^y=1$
$\Leftrightarrow y=0$
$\Leftrightarrow 9k^2-15k+6=0$ ( không có nghiệm nguyên)
+Với $x=3k+1$ thì pt đã cho trở thành:
$(3k+1)^2-5(3k+1)+7=3^y$
$\Leftrightarrow$ $3(3k^2-3k+1)=3^y$
$\Leftrightarrow 3k^2-3k+1=3^{y-1}$
Vì $(3k^2-3k+1)\equiv 1$ (mod 3)
nên $3^{y-1}\equiv 1$ (mod 3)
$\Leftrightarrow 3^{y-1}=1$
$\Leftrightarrow y=1$
$\Leftrightarrow 3k^2-3k=0$
$\Leftrightarrow k=0$ hoặc $k=1$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$
+Với $x=3k+2$ thì pt đã cho trở thành:
$(3k+2)^2-5(3k+2)+7=3^y$
$\Leftrightarrow 9k^2-3k+1=3^y$
Vì $(9k^2-3k+1)\equiv 1$ (mod 3)
nên $3^y\equiv 1$ (mod 3)
$\Leftrightarrow 3^y=1$
$\Leftrightarrow y=0$
$\Leftrightarrow 9k^2-3k=0$
$\Leftrightarrow k=0$ hoặc $k=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow k=0$ ( do k tự nhiên)
$\Leftrightarrow x=2$
Kết hợp cả 3 trường hợp ta được:
Nghiệm nguyên của pt đã cho là: $(x;y)\epsilon \left \{ (2;0);(1;1);(4;1) \right \}$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 21-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 22:17


#9
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Mở rộng 1:
Giải PT nghiệm tự nhiên
$3^y = x^3 + x^2 + x + 1$
$\Leftrightarrow 3^y = (x^2+1)(x+1)$
Đặt $$\begin{cases} x^2+1=3^n \qquad (2) \\ x+1=3^m \qquad (3) \end{cases} (m,n \in \mathbb{N}, n \ge m, m+n=y)$$
Từ $(3) \Rightarrow x^2+2x+1=3^{2m} \qquad (4)$.
Lấy $(4)-(2)$ ta được $x= \dfrac{3^{2m}-3^n}{2}$. Thay $x$ vào $(3)$ ta được $3^{2m}-3^n+2=2 \cdot 3^m \Rightarrow 3^m(2-3^m+3^{n-m})=2$.
Do đó chỉ có thể $m=0$, ta cũng suy ra $n=0$, nên $y=0$ và $x=0$.
Phương trình có nghiệm tự nhiên suy nhất $(x;y)=(0;0)$.
(bài này giải nghiệm nguyên cũng được, không nhất thiết phải là tự nhiên)
_____________________________
Mở rộng 2:
Giải pt nghiệm tự nhiên
$3^y = x^{4}+x^{3}+x+1$
$\Leftrightarrow 3^y = (x^2+2x+1)(x^2-x+1)$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x^2+2x+1=3^a (1)\\ x^2-x+1=3^b(2) \end{matrix}\right.$ ($ a > b; \ a,b \in \mathbb{N}; \ a + b = y$)
Lấy $(1)$ - $(2)$, ta có:
$3x = 3^a - 3^b$
$\Leftrightarrow x = 3^{b-1}(3^{a-b} - 1)$
Nhận thấy nếu $x \ \vdots 3$ thì từ pt ban đầu dễ thấy điều vô lý
$\Rightarrow x \ \not\vdots 3$
$\Rightarrow b-1 =0$ do $3^{a-b} - 1 \ \not\vdots 3 \forall a > b$
Vậy $ b= 1$, thay vào $(2)$ ta có:
$x^2 - x - 2 =0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+1) = 0$
$\Leftrightarrow x = 2$
(bài này cũng có thể sửa thành giải ptnn nhưng khi đó xét thêm TH a=b là ok)

#10
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
Xét 3 trường hợp:
TH1:$y=0$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-5x+7=1$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0$
Khi đó $x=2$ hoặc $x=3$
TH2:$y=1$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-5x+7=3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0$
Vậy $x=1$ hoặc $x=4$
TH3:$y\ge 2$
$\Rightarrow {{3}^{y}}\vdots 9$
Với $x=3k\Rightarrow 9{{k}^{2}}-15k+7={{3}^{y}}$
Mà VT không chia hết cho 3, vô lí!
Với $x=3k+1\Rightarrow 9{{k}^{2}}-9k+3={{3}^{y}}$
Mà VT không chia hết cho 9, vô lí!
Với $x=3k+2\Rightarrow 9{{k}^{2}}-3k+1={{3}^{y}}$
Mà VT không chia hết cho 3, vô lí!
Vậy với $y\ge 2$, PT vô nghiệm.
Kết luận: $(x,y)=(2,0),(3,0),(1,1),(4,1)$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 22-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:12


#11
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
Ta có: x2 -5x+7=3y $\Leftrightarrow$ x2 -5x+7-3y =0
$\Delta$=25-4(7-3y)=4.3y-3.
Để phương trình có nghiệm tự nhiên thì: $\Delta$ là số chính phương.
Đặt $\Delta$=n2$\Leftrightarrow$ 4.3y-3=n2.
-Với y là số chẵn lớn hơn 1 thì 4.3y là số chính phương lớn hơn hoặc bằng 36 nên 4.3y-3 không phải số chính phương.
-Với y là số lẻ lớn hơn 1 thì 3y-1 là số chính phương. Đặt 4.3y-1=k2(k $\in$ N) thì $\Delta$=4.3y-3=3k2-3=3(k2-1). Vì k chia hết cho 3 nên k2-1 không chia hết cho 3 nên 3(k2-1) không chính phương.
-Với y=0 thì phương trình trở thành: x2-5x+6 $\Rightarrow$ x=2 hoặc x=3.
-Với y=1 thì phương trình trở thành: x2-5x+4 $\Rightarrow$ x=1 hoặc x=4.
Vậy phương trình có các nghiệm (x,y)=(1,1);(4,1);(2,0);(3,0).
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 22-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:12


#12
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết
Ta xét 3 trường hợp:
TH1:$y=0\Rightarrow x^2-5x+7=1\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x+3)=0\Rightarrow x=2$
TH2:$y=1\Rightarrow x^2-5x+7=3\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0\Rightarrow x\in \left \{ 1;4 \right \}$
TH3:$y> 1\Rightarrow 3^y\vdots 9\Rightarrow x^2-5x+7\vdots 9\Rightarrow 4(x^2-5x+7)\vdots 9\Rightarrow (2x-5)^2+3\vdots 9$. Nếu $(2x-5)^2\vdots 3$ thì $(2x-5)^2\vdots 9\Rightarrow (2x-5)^2+3$ không chia hết cho 9. Nếu $(2x-5)^2$ không chia hết cho 3 thì $(2x-5)^2+3$ không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 9. Do đó trường hợp này vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm $(x;y)\in \left \{ (2;0), (1;1), (4;1) \right \}$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 23-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=54$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:14

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#13
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Mở rộng 1 :Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn : $x^2 -ax +a+2 =3^y$ Với a có dạng 3k+1
Bài làm
Trước hết ta xét $y =0 \Rightarrow x^2 -ax +a +1 =0 $
Để PT có $x \in N \Leftrightarrow \Delta$ là số chính phương
$\Leftrightarrow a^2 -4a -4 =t^2$
$\Leftrightarrow (a-2-t)(a-2+t) =8$
$\Leftrightarrow a=5 và t =1$ và giải như bài MSS
Ta xét $x^2 -ax +a+2 =3^y$ với $y >0$
$\Leftrightarrow x^2 -ax +a-1 =3^y -3$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-(a-1)) =3^y -3$
Xét $y =1 \Rightarrow x =1$ hoặc $x =a-1$
Với $x$ chia hết cho 3 thì $x-(a-1)$ cũng chia hết cho $3$ do $x$ có dạng $3k +2$
Vậy $(x-1)(x-(a-1))$ chia hết cho 9
mà $3^y -3$ không chia hết cho 9
$\Rightarrow$ loại

#14
eatchuoi19999

eatchuoi19999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 320 Bài viết

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả mãn:
$$x^{2}-5x+7=3^{y}$$
Đề của anhminhkhon

Bài làm:
+) Nếu $y=0\Rightarrow x^{2}-5x+7=3^{0}$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+7=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-2x)-(3x-6)=0$
$\Leftrightarrow x(x-2)-3(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0$
$\Leftrightarrow x=2;x=3$
+) Nếu $y=1\Rightarrow x^{2}-5x+7=3^{1}$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+7=3$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+4=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x)-(4x-4)=0$
$\Leftrightarrow x(x-1)-4(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1;x=4$
+) Nếu $y\geqslant 2$
Ta có: $x^{2}-5x+7=3^{y}$
$\Leftrightarrow (x^{2}-2x+1)-3x+6=3^{y}$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3^{y}+3x-6$
Thấy: $VP \vdots 3$ $\Rightarrow VT\vdots 3$ $\Rightarrow (x-1)^{2}\vdots 3$
$\Rightarrow x-1\vdots 3$ $\Rightarrow x-1$ có dạng $3k$ $\Rightarrow x$ có dạng $3k+1$
Thay vào phương trình ban đầu ta có: $\Rightarrow (3k)^{2}=3^{y}+3(3k+1)-6$
$\Leftrightarrow 9k^{2}=3^{y}+9k-3$
$\Leftrightarrow =3^{y}+9k-9k^{2}=3$
Vì $y\geqslant 2 \Rightarrow 3^{y}\vdots 9$ $\Rightarrow VT\vdots 9$
mà $VP=3$ không $\vdots$ 9 (vô lí)
$\Rightarrow$ Nếu $y\geqslant 2$:loại
Vậy $(x;y)$$\epsilon${$(2;0);(3;0);(1;1);(4;1)$}
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 41-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=45

Toán thủ đã bị loại ở trận 20

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 22:21


#15
duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
$\bigstar$ Xét $y=0$ ta có: $x^{2}-5x+6=0\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$
$\bigstar$ Xét $y=1$ ta có: $x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$
$\bigstar$ Với $y\geq 2$ ta có: $3^{y}\vdots 9$
$\star$ Nếu $x\vdots 3$ ta có $VT\equiv 1(mod3),VP\vdots 3$ (không thỏa mãn)
$\star$ Nếu $x\equiv 2(mod3)$ ta có: $VT\equiv 1(mod3),VP\vdots 3$ (không thỏa mãn)
$\star$ Nếu $x\equiv 1(mod3)$ ta có $3$ trường hợp
$+)$ $TH1:$ $x\equiv 1(mod9)$ $\Rightarrow$ $VT\equiv 3(mod9),VP\vdots 9$ (không thỏa mãn)
$+)TH2:$ $x\equiv 4(mod9)\Rightarrow VT\equiv 3(mod9),VP\vdots 9$ (không thỏa mãn)
$+)TH3: x\equiv 7(mod9)\Rightarrow VT\equiv 3(mod9) ,VP\vdots 9$ (không thỏa mãn)
Vậy phương trình có $4$ nghiệm tự nhiên $(x;y)$ là $(2;0);(3;0);(1;1);(4;1)$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 43-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=44$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:16


#16
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả mãn:
$$x^{2}-5x+7=3^{y}$$
Đề của anhminhkhon

Xét $y=0$ ta có $x^2-5x+7=1$
$\iff x^2-5x+6=0 \iff x=2;x=3$
Xét $ y=1 \iff x^2-5x=4 \iff x=4;x=1$
Xét $ x \ge 2$ ta có $x^2-5x+7=3^y \iff (x-1)^2+6-3x= 3^y\iff (x-1)^2=3x+6+3^y$ ($y$ chứ nhỉ?)
Vì $3^y$ và $6-3x$ chia hết cho $3$ suy ra $(x-1)^2 \vdots 3$
Suy ra $x-1$ có dạng $3t$
Suy ra $9t^2=3^y+9t-6 \iff 9t^2+9t-3^y=6$
Ta nhận thấy $y\ge 2 \to 3^y\vdots 9 \to VT \vdots 9$ mà VP ko chia hết cho 9 nên
Với $ y\ge 2 $ thì pt vô nghiệm
Vậy pt có tập nghiệm
$$S=\boxed{x;y}=\boxed{2;0},\boxed{3;0},\boxed{1;1},\boxed{4;1}$$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 59-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=36$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:20

@@@@@@@@@@@@

#17
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
Bài làm của thanhluong:
$$x^2-5x+7=3^y (1)$$.
-Với $y=0$, phương trình $(1)$ được viết lại thành: $x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$.
Với $y=1$, phương trình $(1)$ được viết lại thành: $x^2-5x+4=0 \Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$.
Với $y \geq 2$, ta có: $\Delta_{(1)}=(-5)^2+4 \cdot 1 \cdot (7-3y)=3(4 \cdot 3^{y-1}+1)$.
Phương trình $(1)$ có nghiệm tự nhiên với $y \geq 2$ khi và chỉ khi $\Delta_{(1)}$ là số chính phương.
Mà $(3, 4 \cdot 3^{y-1}+1)=1$ nên $3$ là số chính phương. Điều này vô lý, do đó phương trình vô nghiệm tự nhiên với $y>2$.
Vậy: Phương trình có các cặp nghiệm tự nhiên $(x; y) \in \{ (2;0), (3;0), (1;1), (4;1) \}$.

----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 59-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=35$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:21

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#18
HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Ta có : $x^{2}-5x+7=3^{y}$ (1)
Xét y=0
(1) $\Rightarrow x^{2}-5x+6=3^{0}=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0$
$\Leftrightarrow$ x=2 hoặc x=3
Xét y=1
(1) $\Rightarrow x^{2}-5x+7=3$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+4=0$
$\Leftrightarrow (x-4)(x-1)=0$
$\Leftrightarrow$ x=1 hoặc x=4
Xét y$\geq 2$
(1) $\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=3^{y}+3x-6$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3^{y}+3x-6$ (2 )
Vì VP $\vdots 3$ nên $(x-1)^{2} \vdots 3$
$\Rightarrow (x-1)\vdots 3$
$\Rightarrow x-1=3k$ (k $k \geq 0$ )
(2) $\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3^{y}+3(x-1)-3$
$\Rightarrow (3k)^{2}=3^{y}+3(3k)-3$
$\Leftrightarrow 3^{y}-9k^{2}+9k=3$
Vì y$\geq 2$ nên $3^{y}\vdots 9$
$\Rightarrow VT=3^{y}-9k^{2}+9k \vdots 9$
VP=3 không chia hết cho 9 nên phương trình (2) không có nghiệm nguyên với y$\geq 2$
Vậy cặp nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là $\left \{(2;0);(3;0);(1;1);(4;1) \right \}$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 63-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=34$

Toán thủ đã bị loại ở trận 20

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 22:23

Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#19
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
xét 2 trường hợp:
+) Nếu y=0. Ta có: $x^{2}-5x+7=1\Leftrightarrow x^{2}-5x+6=0\Leftrightarrow (x-3)(x-2)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 2;3 \right \}$
+) Nếu $y> 0$. TA có: $x^{2}-5x+7=3^{y}\Leftrightarrow 4x^{2}-20x+28=3^{y}4\Leftrightarrow (2x-5)^{2}=3^{y}4-3$
vì $(3^{y}4-3)\vdots 3\Rightarrow (2x-5)^{2}\vdots 3$
Vì $(2x-5)^{2}$ là số chính phương (vì x là số tự nhiên) nên $(2x-5)^{2}\vdots 9$ (tính chất số chính phương) từ đó suy ra $(3^{y}4-3)\vdots 9\Leftrightarrow 3^{y}4\equiv 12(mod9)\Leftrightarrow 3^{y}\equiv 3(mod9)\Leftrightarrow y< 2\Leftrightarrow y=1$
Thay vào phương trình đã cho ta có: $x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow (x-4)(x-1)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 4;1 \right \}$
Vậy phương trình có nghiệm $(x;y)\in \left \{ (3;0);(2;0);(4;1);(1;1) \right \}$
Mở rộng: với phương trình :$x^{2}-ax+b=3^{y}$
Biến đổi như trên ta có phương trình sau :
$(2x-a)^{2}=3^{Y}4+a^{2}-4b$
NHư vậy việc phương trình có nghiệm hay không tuỳ vào cách chọn $a^{2}-4b$
Ví dụ với a=3; b=1 ta có $(2x-3)^{2}=3^{y}4+5$ phương trình có nghiệm duy nhất y=1, từ đó thay vào ta có được x
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 64-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+10+0=43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 09-03-2013 - 21:23

 B.F.H.Stone


#20
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Cách giải khác :
Ta có :
x^2 -5x +7 -3^y =0
Với $y =0 thì x^2 -5x +6 =0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) =0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$
Với $y >0 $
Xét $\Delta =25 -28 +4.3^y =-3 +4.3^y =3(4.3^{y-1} -1)$
Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương
$\Rightarrow \sqrt{3(4.3^{y-1} -1)}$ phải là số nguyên
Với $y =1$ thì $\Delta =9 \Rightarrow x =1$ hoặc $x= 4$
Với $y >1$ thì $(3;4.3^{y-1} -1) =1$
mà 3 không phải là số chính phương
$\Rightarrow \sqrt{3(4.3^{y-1} -1)}$ không thể là số nguyên.

Vậy loại
Vậy $(x;y) =(2,0) , (3,0) ,(4,1) (1,1)$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh