Đến nội dung


Hình ảnh

$cos\frac{\pi }{2n+1}-cos\frac{2\pi }{2n+1}+cos\frac{3\pi }{n+1}+...+(-1)^{n+1}cos\frac{n\pi }{2n+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 caothuprofifa

caothuprofifa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Đã gửi 04-03-2013 - 20:19

S=$cos\frac{\pi }{2n+1}-cos\frac{2\pi }{2n+1}+cos\frac{3\pi }{n+1}+...+(-1)^{n+1}cos\frac{n\pi }{2n+1}$
$CM: S=\frac{1}{2} \forall n\epsilon N$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caothuprofifa: 05-03-2013 - 08:56


#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 05-03-2013 - 21:48

S=$cos\frac{\pi }{2n+1}-cos\frac{2\pi }{2n+1}+cos\frac{3\pi }{n+1}+...+(-1)^{n+1}cos\frac{n\pi }{2n+1}$
$CM: S=\frac{1}{2} \forall n\epsilon N$


Dựa vào tính chất cơ bản sau :
$$\cos \alpha=-\cos (\pi-\alpha) \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}$$

Ta có :

\[\begin{array}{rcl}
S &=& \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}}} \\
&=& \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}\cos \frac{{\left( {2n + 1 - k} \right)\pi }}{{2n + 1}}} \\
&=& \sum\limits_{k = n + 1}^{2n} {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}}} \\
\Rightarrow S &=& \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^{2n} {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}}}
\end{array}\]

Như vậy ta chỉ cần chứng minh :
$$\sum\limits_{k = 1}^{2n} {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}}}=1 \quad (*)$$

Xét các số hạng thứ chẵn $k=2i \quad (i=\overline{1;n})$ của tổng (*),ta nhận thấy :
\[{T_{2i}} = - \cos \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}} = \cos \frac{{\left( {2n + 1 - 2i} \right)\pi }}{{2n + 1}} \equiv {T_{2n + 1 - 2i}}\]

Chi $i$ chạy từ $1$ đến $n$,ta sẽ có:

\[\sum\limits_{i = 1}^n {{T_{2i}}}  = \sum\limits_{i = 1}^n {{T_{2n - 2i + 1}}}  = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{T_{2i + 1}}} \quad \text{(Quy tắc đảo chiều)}\]

 

Vậy :
\[\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{k = 1}^{2n} {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}}} &=& 2\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\cos \frac{{\left( {2i + 1} \right)\pi }}{{2n + 1}}} \\
&=& \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\sin \frac{{2i + 2}}{{2n + 1}}\pi - \sin \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}}} \right)} } \right]\\
&=& \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\Delta \left[ {\sin \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}}} \right]} \\
&=& \frac{{\left[ {\sin \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}}} \right]_{i = 0}^n}}{{\sin \frac{\pi }{{n + 1}}}}\\
&=& \frac{{\sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}}}{{\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}}} = 1
\end{array}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-03-2013 - 20:19

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh