$CM: S=\frac{1}{2} \forall n\epsilon N$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caothuprofifa: 05-03-2013 - 08:56
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caothuprofifa: 05-03-2013 - 08:56
S=$cos\frac{\pi }{2n+1}-cos\frac{2\pi }{2n+1}+cos\frac{3\pi }{n+1}+...+(-1)^{n+1}cos\frac{n\pi }{2n+1}$
$CM: S=\frac{1}{2} \forall n\epsilon N$
\[\sum\limits_{i = 1}^n {{T_{2i}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{T_{2n - 2i + 1}}} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{T_{2i + 1}}} \quad \text{(Quy tắc đảo chiều)}\]
Vậy :
\[\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{k = 1}^{2n} {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}}} &=& 2\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\cos \frac{{\left( {2i + 1} \right)\pi }}{{2n + 1}}} \\
&=& \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {\sin \frac{{2i + 2}}{{2n + 1}}\pi - \sin \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}}} \right)} } \right]\\
&=& \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\Delta \left[ {\sin \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}}} \right]} \\
&=& \frac{{\left[ {\sin \frac{{2i\pi }}{{2n + 1}}} \right]_{i = 0}^n}}{{\sin \frac{\pi }{{n + 1}}}}\\
&=& \frac{{\sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}}}{{\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}}} = 1
\end{array}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-03-2013 - 20:19
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh