Chủ đề này có 2 trả lời

[Trần Đức Anh @@]

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ ($BA=BC=1$) và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $SM=BN=1$.
1. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$
2. Tính thể tích của tự diện $LMNK$.

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng    sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 29/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ ($BA=BC=1$) và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $SM=BN=1$.
1. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$
2. Tính thể tích của tự diện $LMNK$.

$1)$

Gọi $S'$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

$SA=SB=SC\Rightarrow SS'^2+S'A^2=SS'^2+S'B^2=SS'^2+S'C^2\Rightarrow S'A=S'B=S'C$

$\Rightarrow S'\equiv K$ $\Rightarrow SK$ là chiều cao hình chóp $S.ABC$

Xét $\Delta SKA$ vuông tại $K$ : $SK=\sqrt{SA^2-KA^2}=\sqrt{SA^2-\left ( \frac{AC}{2} \right )^2}=\sqrt{9-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$

$\Rightarrow V\left ( S.ABC \right )=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.SK=\frac{\sqrt{34}}{12}$

 

$2)$

Gọi $P=\left ( NLK \right )\cap SA\Rightarrow \left ( NLK \right )\cap \left ( SAB \right )=NP$ (1)

Mặt khác $\left ( NLK \right )\cap \left ( ABC \right )=LK$ (2)

$\left ( SAB \right )\cap \left ( ABC \right )=AB$ (3)

Và do tính chất đường trung bình nên $LK//AB$ (4)

(1),(2),(3),(4) $\Rightarrow NP//AB//LK\Rightarrow \frac{AP}{AS}=\frac{BN}{BS}=\frac{1}{3}\Rightarrow MP=\frac{SP}{2}$ $\Rightarrow$

$d\left ( S,\left ( KLNP \right ) \right )=2d\left ( M,\left ( KLNP \right ) \right )\Rightarrow V\left ( LMNK \right )=V\left ( M.NLK \right )=\frac{1}{2}V\left ( S.NLK \right )$

Gọi $Q$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SQ=\sqrt{AB^2-AQ^2}=\sqrt{9-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2}$

Kẻ $NI$ _|_ $AB$ ($I\in AB$) ; $IH$ _|_ $LK$ ($H\in LK$) $\Rightarrow IH$ _|_ $AB$ và $IH=BL=\frac{1}{2}$

Gọi $J$ là hình chiếu của $N$ trên mặt phẳng $(ABC)$, theo định lý $3$ đường vuông góc, 

$AB$ _|_ $NI\Rightarrow AB$ _|_ $JI\Rightarrow J\in IH$

$LK$ _|_ $IH$ và $LK$ _|_ $NI$ $\Rightarrow LK$ _|_ $(NIH)$ $\Rightarrow NH$ _|_ $LK$ ($NH$ là đường cao $\Delta NLK$)

Các tam giác $NIJ$ và $SQK$ đồng dạng (vì có các cạnh tương ứng song song)

$\Rightarrow \frac{NI}{SQ}=\frac{IJ}{QK}=\frac{NJ}{SK}=\frac{BN}{BS}=\frac{1}{3}\Rightarrow NI=\frac{SQ}{3}=\frac{\sqrt{35}}{6}$ ; $IJ=\frac{QK}{3}=\frac{1}{6}$ ; $NJ=\frac{SK}{3}=\frac{\sqrt{34}}{6}$ ; $JH=IH-IJ=\frac{1}{3}$ ; $NH=\sqrt{NJ^2+JH^2}=\frac{\sqrt{38}}{6}$ 

Gọi $R=SQ\cap NP\Rightarrow SR=\frac{2}{3}.SQ=\frac{\sqrt{35}}{3}$

$LK$ _|_ $SK$ và $LK$ _|_ $QK$ $\Rightarrow LK$ _|_ $(SKQ)$ $\Rightarrow LK$ _|_ $KR$ (5)

Gọi $S''$ là hình chiếu của $S$ trên $(NLK)$

Theo định lý $3$ đường vuông góc, $LK$ _|_ $SK$ $\Rightarrow$ $LK$ _|_ $S''K$ (6)

(5),(6) $\Rightarrow S''\in KR$ $\Rightarrow$ góc $\widehat{SKR}$ chính là góc giữa $SK$ và mp $(KLNP)$ $\Rightarrow SS''=SK.\sin \widehat{SKR}$

Xét tam giác $SKQ$ : $\sin \widehat{KSQ}=\frac{KQ}{SQ}=\frac{1}{\sqrt{35}}\Rightarrow \cos \widehat {KSQ}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{35}}$

Xét tam giác $SKR$ : $RK^2=SK^2+SR^2-2SK.SR.\cos \widehat{KSQ}=\frac{17}{2}+\frac{35}{9}-2.\frac{\sqrt{34}}{2}.\frac{\sqrt{35}}{3}.\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{35}}=\frac{19}{18}$

$\Rightarrow RK=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{18}}$ $\Rightarrow$ $\sin \widehat{SKR}=\frac{SR.\sin \widehat{KSQ}}{RK}=\frac{\sqrt{35}}{3}.\frac{1}{\sqrt{35}}.\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow SS''=SK.\sin \widehat{SKR}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{38}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}$

$\Rightarrow V\left ( S.NLK \right )=\frac{1}{3}.SS''.S_{NLK}=\frac{1}{6}.SS''.NH.LK=\frac{1}{6}.\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}.\frac{\sqrt{38}}{6}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{34}}{72}$

$\Rightarrow V\left ( LMNK \right )=V\left ( M.NLK \right )=\frac{1}{2}V\left ( S.NLK \right )=\frac{\sqrt{34}}{144}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-05-2014 - 14:57