Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$ABC$ vuông cân, $AB=BC=1$, $SA=SB=SC=3$. Tính V

cần có người giải gấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 04-03-2013 - 22:17

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ ($BA=BC=1$) và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $SM=BN=1$.
1. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$
2. Tính thể tích của tự diện $LMNK$.
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-05-2014 - 17:11

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng   @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 29/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 28-05-2014 - 17:55

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ ($BA=BC=1$) và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $SM=BN=1$.
1. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$
2. Tính thể tích của tự diện $LMNK$.

$1)$

Gọi $S'$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

$SA=SB=SC\Rightarrow SS'^2+S'A^2=SS'^2+S'B^2=SS'^2+S'C^2\Rightarrow S'A=S'B=S'C$

$\Rightarrow S'\equiv K$ $\Rightarrow SK$ là chiều cao hình chóp $S.ABC$

Xét $\Delta SKA$ vuông tại $K$ : $SK=\sqrt{SA^2-KA^2}=\sqrt{SA^2-\left ( \frac{AC}{2} \right )^2}=\sqrt{9-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$

$\Rightarrow V\left ( S.ABC \right )=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.SK=\frac{\sqrt{34}}{12}$

 

$2)$

Gọi $P=\left ( NLK \right )\cap SA\Rightarrow \left ( NLK \right )\cap \left ( SAB \right )=NP$ (1)

Mặt khác $\left ( NLK \right )\cap \left ( ABC \right )=LK$ (2)

$\left ( SAB \right )\cap \left ( ABC \right )=AB$ (3)

Và do tính chất đường trung bình nên $LK//AB$ (4)

(1),(2),(3),(4) $\Rightarrow NP//AB//LK\Rightarrow \frac{AP}{AS}=\frac{BN}{BS}=\frac{1}{3}\Rightarrow MP=\frac{SP}{2}$ $\Rightarrow$

$d\left ( S,\left ( KLNP \right ) \right )=2d\left ( M,\left ( KLNP \right ) \right )\Rightarrow V\left ( LMNK \right )=V\left ( M.NLK \right )=\frac{1}{2}V\left ( S.NLK \right )$

Gọi $Q$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SQ=\sqrt{AB^2-AQ^2}=\sqrt{9-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2}$

Kẻ $NI$ _|_ $AB$ ($I\in AB$) ; $IH$ _|_ $LK$ ($H\in LK$) $\Rightarrow IH$ _|_ $AB$ và $IH=BL=\frac{1}{2}$

Gọi $J$ là hình chiếu của $N$ trên mặt phẳng $(ABC)$, theo định lý $3$ đường vuông góc, 

$AB$ _|_ $NI\Rightarrow AB$ _|_ $JI\Rightarrow J\in IH$

$LK$ _|_ $IH$ và $LK$ _|_ $NI$ $\Rightarrow LK$ _|_ $(NIH)$ $\Rightarrow NH$ _|_ $LK$ ($NH$ là đường cao $\Delta NLK$)

Các tam giác $NIJ$ và $SQK$ đồng dạng (vì có các cạnh tương ứng song song)

$\Rightarrow \frac{NI}{SQ}=\frac{IJ}{QK}=\frac{NJ}{SK}=\frac{BN}{BS}=\frac{1}{3}\Rightarrow NI=\frac{SQ}{3}=\frac{\sqrt{35}}{6}$ ; $IJ=\frac{QK}{3}=\frac{1}{6}$ ; $NJ=\frac{SK}{3}=\frac{\sqrt{34}}{6}$ ; $JH=IH-IJ=\frac{1}{3}$ ; $NH=\sqrt{NJ^2+JH^2}=\frac{\sqrt{38}}{6}$ 

Gọi $R=SQ\cap NP\Rightarrow SR=\frac{2}{3}.SQ=\frac{\sqrt{35}}{3}$

$LK$ _|_ $SK$ và $LK$ _|_ $QK$ $\Rightarrow LK$ _|_ $(SKQ)$ $\Rightarrow LK$ _|_ $KR$ (5)

Gọi $S''$ là hình chiếu của $S$ trên $(NLK)$

Theo định lý $3$ đường vuông góc, $LK$ _|_ $SK$ $\Rightarrow$ $LK$ _|_ $S''K$ (6)

(5),(6) $\Rightarrow S''\in KR$ $\Rightarrow$ góc $\widehat{SKR}$ chính là góc giữa $SK$ và mp $(KLNP)$ $\Rightarrow SS''=SK.\sin \widehat{SKR}$

Xét tam giác $SKQ$ : $\sin \widehat{KSQ}=\frac{KQ}{SQ}=\frac{1}{\sqrt{35}}\Rightarrow \cos \widehat {KSQ}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{35}}$

Xét tam giác $SKR$ : $RK^2=SK^2+SR^2-2SK.SR.\cos \widehat{KSQ}=\frac{17}{2}+\frac{35}{9}-2.\frac{\sqrt{34}}{2}.\frac{\sqrt{35}}{3}.\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{35}}=\frac{19}{18}$

$\Rightarrow RK=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{18}}$ $\Rightarrow$ $\sin \widehat{SKR}=\frac{SR.\sin \widehat{KSQ}}{RK}=\frac{\sqrt{35}}{3}.\frac{1}{\sqrt{35}}.\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow SS''=SK.\sin \widehat{SKR}=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{38}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}$

$\Rightarrow V\left ( S.NLK \right )=\frac{1}{3}.SS''.S_{NLK}=\frac{1}{6}.SS''.NH.LK=\frac{1}{6}.\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{19}}.\frac{\sqrt{38}}{6}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{34}}{72}$

$\Rightarrow V\left ( LMNK \right )=V\left ( M.NLK \right )=\frac{1}{2}V\left ( S.NLK \right )=\frac{\sqrt{34}}{144}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-05-2014 - 14:57

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh