Chủ đề này có 1 trả lời

[together1995]

Cho f(x) liên tục và dương trên R biết:
$[f'(x)]^2+4.f(x).f'(x)+[f(x)]^2=0.$
$f(0)=1.$
Tính $f(x).$

[zipienie]

Lời giải

Vì hàm số $f(x)$ liên tục và dương trên $\mathbb{R}$ nên ta chi cả hai vế của phương trình đã cho với $f(x)$ và sau đó đặt $u=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$. Ta có
$$[f'(x)]^2+4 \cdot f(x) \cdot f'(x)+[f(x)]^2=0\iff \left ( \dfrac{f'(x)}{f(x)} \right )^2+4\dfrac{f'(x)}{f(x)}+1=0\iff u^2+4u+1=0 $$
Phương trình cuối cùng nhận được là phương trình bậc hai với hệ số thực nên ta tìm được nghiệm là $u=-2\pm \sqrt{3}$
Vì $u=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ nên ta có
$$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=-2\pm \sqrt{3} $$
Lấy tích phân hai vế ta có
$$ \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} dx =\int (-2\pm \sqrt{3}) dx \iff \ln f(x) +C = (-2\pm \sqrt{3})x $$ hay $ f(x)=e^{(-2\pm \sqrt{3})x-C_1} \quad (*) $ ( với $C$ và $C_1$ là các hằng số nào đó)

Thay $f(0)=1$ vào $(*)$ ta tìm được $C_1=0$.Vậy hàm số cần tìm là $\boxed{f(x)= e^{(-2\pm \sqrt{3})x}}$.
P/S: Bài này là bài giải của mình trên Mathscope