Chủ đề này có 4 trả lời

[NguyenKieuLinh]

Cho a,b,c là 3 số nguyên dương nguyên tó cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$
CM tổng a+b là số chính phương

[Nguyen Duc Thuan]

Từ GT ta đc $(a+b)c=ab\Rightarrow ac+bc-ab=0\Rightarrow (a+b)(a-c)=a^{2}$
Vì a,b,c nguyên tố cùng nhau nên (a+b,a-c)=1$\Rightarrow a+b$ là số chính phương

Không thể khẳng định (a+b,a-c)=1 vì GT chỉ cho (a;b;c)=1 mà thôi! Bạn có thể nghĩ lại !!!

Đặt (a+b,a-c)=d$\Rightarrow a^{2}\vdots d\Rightarrow a\vdots d, a+b,a-c\vdots d\Rightarrow b,c\vdots d\Rightarrow d=1$

SAI: $a^2\vdots d\Rightarrow a\vdots d$ (VD :a=2, d=4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 06-03-2013 - 21:23

[NguyenKieuLinh]

Từ GT ta đc $(a+b)c=ab\Rightarrow ac+bc-ab=0\Rightarrow (a+b)(a-c)=a^{2}$
Vì a,b,c nguyên tố cùng nhau nên (a+b,a-c)=1$\Rightarrow a+b$ là số chính phương

Tại sao(a+b,a-c)=1 thế bạn ơi.. mình nghĩ không thể đưa ra được

[NguyenKieuLinh]

là SCP sao được !! Đề bài có sai không đấy??
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{1}{c}$
$<=> \frac{a+b}{ab}= \frac{1}{c} <=> a+b = \frac{ab}{c}$
mà (a;b;c)=1 => (ab;c)=1 => $\frac{ab}{c}$ không thuộc N => a+b không là SCP
Vậy Đề bài sai!! hay mình giải sai!@@! chả pít sai ở đâu lun!!

bạn xem lại đi... a+b chắc chắn là số chính phương mà

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a,b,c là 3 số nguyên dương nguyên tó cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$
CM tổng a+b là số chính phương

Đây là lời giải chuẩn nhất:
$GT\Leftrightarrow (a-c)(b-c)=c^2$
Bây giờ ta CM $(a-c;b-c)=1$
Thật vậy. Đặt $(a-c;b-c)=d$ thì $(a-c)\vdots d;(b-c)\vdots d$
$\Rightarrow c^2\vdots d^2\rightarrow c\vdots d$
MÀ $(a-c)\vdots d;(b-c)\vdots d$ nên cả $a$ & $b$ chia hết cho d dẫn đến $d=1$
Vậy $a-c$ &$b-c$ là các số CP. Đặt:
$a-c=x^2;b-c=y^2\Rightarrow c^2=x^2y^2\Rightarrow c=xy$
Xét $a+b=a-c+b-c+2c=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2$
Đây chính là ĐPCM .........