Chủ đề này có 24 trả lời

[Nhox169]

tính tổng:
S = $C_{2009}^{0}- C_{2009}^{2}+C_{2009}^{4}+...+C_{2009}^{2008}$
và
S= $C_{2008}^{1} - C_{2008}^{3} + ... + C_{2008}^{2007}$

[dark templar]

tính tổng:
S = $C_{2009}^{0}- C_{2009}^{2}+C_{2009}^{4}+...+C_{2009}^{2008}$
và
S= $C_{2008}^{1} - C_{2008}^{3} + ... + C_{2008}^{2007}$

Tham khảo cách giải ở đây (#4).

[Nhox169]

cái đấy mình không hiểu lắm. bạn còn cách nào giải mà không dùng đến số phức ko ?

[dark templar]

cái đấy mình không hiểu lắm. bạn còn cách nào giải mà không dùng đến số phức ko ?

Bạn học đến số phức chưa nhỉ ? Cái đó chỉ là khai triển bình thường thôi mà ,tách lấy các số hạng chứa $i^{2k}=(-1)^{k}$ và $i^{2k+1}=(-1)^{k}i$ để lấy ra phần thực ,phần ảo ?

Còn cách giải khác thì ... mình thực sự không nghĩ có thể ngắn gọn hơn cách giải này.

[Nhox169]

mình mới học sơ sơ thôi. bạn cho mình hỏi từ cái chỗ "suy ra" ấy. ký hiệu đó nghĩa là gì và sao lại $(1+i)^{100}$ lại ra được như thế ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhox169: 07-03-2013 - 22:05

[dark templar]

mình mới học sơ sơ thôi. bạn cho mình hỏi từ cái chỗ "suy ra" ấy. ký hiệu đó nghĩa là gì và sao lại $(1+i)^{100}$ lại ra được như thế ??

Àh ký hiệu đó mang nghĩa là tổng cần tính tương ứng với phần thực của 1 số phức.

Bạn chắc cũng biết 1 số phức luôn biểu diễn dưới dạng sau :
$$z=a+bi \quad (a,b \in \mathbb{R})$$

Thế thì ký hiệu $\Re (z)$ sẽ bằng với $a$ trong trường hợp này đấy

Còn mấy dấu bằng sau chỉ là biến đổi thông thường thôi :

\[\begin{array}{rcl}
{\left( {1 + i} \right)^{100}} &=& {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{50}}\\
&=& {\left( {1 + {i^2} + 2i} \right)^{50}}\\
&=& {2^{50}}{i^{50}}\\
&=& {2^{50}}{\left( {{i^2}} \right)^{25}} = - {2^{50}}
\end{array}\]

Hoặc không ta có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác thông qua công thức Moivre :

\[\begin{array}{rcl}
{\left( {1 + i} \right)^{100}} &=& {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{100}}\\
&=& {2^{50}}{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)^{100}}\\
&=& {2^{50}}\left( {\cos \frac{{100\pi }}{4} + i\sin \frac{{100\pi }}{4}} \right)\\
&=& - {2^{50}}
\end{array}\]

[Nhox169]

Àh ký hiệu đó mang nghĩa là tổng cần tính tương ứng với phần thực của 1 số phức.

Bạn chắc cũng biết 1 số phức luôn biểu diễn dưới dạng sau :
$$z=a+bi \quad (a,b \in \mathbb{R})$$

Thế thì ký hiệu $\Re (z)$ sẽ bằng với $a$ trong trường hợp này đấy

Còn mấy dấu bằng sau chỉ là biến đổi thông thường thôi :

\[\begin{array}{rcl}
{\left( {1 + i} \right)^{100}} &=& {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{50}}\\
&=& {\left( {1 + {i^2} + 2i} \right)^{50}}\\
&=& {2^{50}}{i^{50}}\\
&=& {2^{50}}{\left( {{i^2}} \right)^{25}} = - {2^{50}}
\end{array}\]

Hoặc không ta có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác thông qua công thức Moivre :

\[\begin{array}{rcl}
{\left( {1 + i} \right)^{100}} &=& {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{100}}\\
&=& {2^{50}}{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)^{100}}\\
&=& {2^{50}}\left( {\cos \frac{{100\pi }}{4} + i\sin \frac{{100\pi }}{4}} \right)\\
&=& - {2^{50}}
\end{array}\]

Tks bạn. chắc cũng phải tìm tòi thêm cách giải tổ hợp thôi. bt chỉ giải bằng công thức tổ hợp và newton T_T sắp thi rồi mà còn nhiều cái chưa biết quá T_T

[Nhox169]

bạn cho mình hỏi luôn là bài bạn làm chỉ đúng với n chẵn thôi. nếu n lẻ thì phải tách như thế nào

[dark templar]

bạn cho mình hỏi luôn là bài bạn làm chỉ đúng với n chẵn thôi. nếu n lẻ thì phải tách như thế nào

Ý bạn là tổng dạng như thế này $S=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\binom{2n}{2k+1}$ ?

Tổng trên sẽ tương ứng với phần ảo của số phức $(1+i)^{2n}$,tức là $S=\Im (1+i)^{2n}=2^{n}\sin \frac{n\pi}{2}$

[Nhox169]

vẫn khó hiểu lắm ( bạn thử giúp mình 1 tổng ở trên xem. cái tổng đầu tiên ấy. mình là dạng người chỉ học được bằng bài tập thôi chứ theo lý thuyết thì chậm lắm T_T

[Nhox169]

cái chỗ đấy là 2n+1 và 2k chứ không phải 2k+1 va 2n bạn @@

[dark templar]

tính tổng:
S = $C_{2009}^{0}- C_{2009}^{2}+C_{2009}^{4}+...+C_{2009}^{2008}$

vẫn khó hiểu lắm ( bạn thử giúp mình 1 tổng ở trên xem. cái tổng đầu tiên ấy. mình là dạng người chỉ học được bằng bài tập thôi chứ theo lý thuyết thì chậm lắm T_T

Vậy mình giải mẫu tổng đầu tiên cho bạn nhé
**********
Xét khai triển của :

\[\begin{array}{rcl}
{\left( {1 + i} \right)^{2009}} &=& \sum\limits_{k = 0}^{2009} {\binom{2009}{k}{i^k}} \\
&=& \sum\limits_{k = 0}^{1004} {\binom{2009}{2k}{i^{2k}}} + \sum\limits_{k = 0}^{1004} {\binom{2009}{2k+1}{i^{2k + 1}}} \\
&=& \sum\limits_{k = 0}^{1004} {\binom{2009}{2k}{{\left( { - 1} \right)}^k}} + \sum\limits_{k = 0}^{1004} {\binom{2009}{2k+1}{{\left( { - 1} \right)}^k}i} \\
\Rightarrow S &=& {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^{2009}}} \right]\\
&=& {2^{\frac{{2009}}{2}}}\cos \frac{{2009\pi }}{4} = {2^{1004}}
\end{array}\]

**********
Ký hiệu ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)$ cũng giống như ký hiệu $\Re (z)$ thôi nhé,viết như vậy cho bạn dễ hiểu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-03-2013 - 19:43

[Nhox169]

tks bạn. mình hiểu hơn tí r

[Nhox169]

bạn ơi hình như làm sai thì phải. tổng của mình chỉ có 2k thôi mà. thế thì kết quả chỉ là $\sum_{k=0}^{1004}C_{2009}^{2k}$ thôi chứ ???

[Nhox169]

ak hiểu rồi. mình nhầm @@

[dark templar]

bạn ơi hình như làm sai thì phải. tổng của mình chỉ có 2k thôi mà. thế thì kết quả chỉ là $\sum_{k=0}^{1004}C_{2009}^{2k}$ thôi chứ ???

Bạn xem lại cái dấu trên tổng đầu nhé Đan xen dấu giữa $0;2;4;...$ thì phải là $(-1)^{k}\binom{2009}{2k}$.

[Nhox169]

thế nếu như làm bài thế này mà phải lấy phần ảo thì phải tính thế nào hả bạn?

[Nhox169]

mình cũng chưa rõ lắm cái đoạn cuối.khai triển có cả phần thực với phần ảo cơ mà. sao tính ra chỉ được có mỗi phần thực T_T

[dark templar]

mình cũng chưa rõ lắm cái đoạn cuối.khai triển có cả phần thực với phần ảo cơ mà. sao tính ra chỉ được có mỗi phần thực T_T

Hic Khai triển số phức thì hiển nhiên phải có phần thực,phần ảo rồi.Nhưng mà tổng cần tính của bạn chỉ ứng với phần thực của số phức đó thôi .

[Nhox169]

thế tức là tổng cần tính là phần nào thì nó sẽ ra phần đó hả???