Chủ đề này có 5 trả lời

[vnmath98]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc $\geq 1$. CMR:$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

[25 minutes]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc $\geq 1$. CMR:$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

Đây là bất đẳng thức trong IMO 2005
Bạn có thể tham khảo cách làm trong Sáng tạo bất đẳng thức Ví dụ 3.2.3

[vnmath98]

Đây là bất đẳng thức trong IMO 2005
Bạn có thể tham khảo cách làm trong Sáng tạo bất đẳng thức Ví dụ 3.2.3

Nhưng em không có sách sáng tạo bất đẳng thức.

[Sagittarius912]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc $\geq 1$. CMR:$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/84663-sum-fracx5-x2x5y2z2geq-0/

[vnmath98]

http://diendantoanho...-x2x5y2z2geq-0/

Cảm ơn bạn nhiều nha.

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc $\geq 1$. CMR:$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$

Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )

Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$ 

Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $

Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1