$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$
#1
Đã gửi 09-03-2013 - 16:42
- Sagittarius912 và lam lai tu dau thích
#3
Đã gửi 09-03-2013 - 17:35
Nhưng em không có sách sáng tạo bất đẳng thức.Đây là bất đẳng thức trong IMO 2005
Bạn có thể tham khảo cách làm trong Sáng tạo bất đẳng thức Ví dụ 3.2.3
- lam lai tu dau yêu thích
#4
Đã gửi 09-03-2013 - 17:36
http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/84663-sum-fracx5-x2x5y2z2geq-0/Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc $\geq 1$. CMR:$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$
- vnmath98 và lam lai tu dau thích
#5
Đã gửi 09-03-2013 - 17:42
#6
Đã gửi 28-04-2021 - 13:16
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc $\geq 1$. CMR:$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$
Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$
Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )
Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$
Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $
Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh