Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Bài toán : Chứng minh rằng :
$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$

[nthoangcute]

Bài toán : Chứng minh rằng :
$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$

 

 

Ta có:

$$A=\prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2} {\frac { \left( \Gamma  \left( n+1 \right)  \right) ^{2} }{\Gamma  \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma  \left( n+\frac{3}{2} \right) }}$$

 

Dễ thấy:

$$\lim_{n \to+\infty}  {\frac { \left( \Gamma  \left( n+1 \right)  \right) ^{2} }{\Gamma  \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma  \left( n+\frac{3}{2} \right) }}=1$$

Suy ra $$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 29-03-2013 - 22:54

[dark templar]

 

Ta có:

$$A=\prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2} {\frac { \left( \Gamma  \left( n+1 \right)  \right) ^{2} }{\Gamma  \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma  \left( n+\frac{3}{2} \right) }}$$

 

Dễ thấy:

$$\lim_{n \to+\infty}  {\frac { \left( \Gamma  \left( n+1 \right)  \right) ^{2} }{\Gamma  \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma  \left( n+\frac{3}{2} \right) }}=1$$

Suy ra $$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$

Bài này không cần xài đến hàm Gamma đâu nhé,lòe thiên hạ ghê quá Nhưng nếu em chứng minh được các nhận định trên bằng cách sơ cấp nhất có thể thì sẽ rất là thú vị đấy

 

Spoiler

Anh post bài này vào box Olympiad là có lý do của nó.Nếu chỉ giải bằng kiến thức Toán cao cấp thì anh đã chuyển bài này qua box Giải Tích của forum Đại Học rồi.