Bài toán : Chứng minh rằng :
$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$
$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$
Bắt đầu bởi dark templar, 10-03-2013 - 10:37
vmf ^^
#1
Đã gửi 10-03-2013 - 10:37
- WhjteShadow yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 29-03-2013 - 22:54
Bài toán : Chứng minh rằng :
$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$
Ta có:
$$A=\prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2} {\frac { \left( \Gamma \left( n+1 \right) \right) ^{2} }{\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma \left( n+\frac{3}{2} \right) }}$$
Dễ thấy:
$$\lim_{n \to+\infty} {\frac { \left( \Gamma \left( n+1 \right) \right) ^{2} }{\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma \left( n+\frac{3}{2} \right) }}=1$$
Suy ra $$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 29-03-2013 - 22:54
- Zaraki yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#3
Đã gửi 30-03-2013 - 17:13
Ta có:$$A=\prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2} {\frac { \left( \Gamma \left( n+1 \right) \right) ^{2} }{\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma \left( n+\frac{3}{2} \right) }}$$Dễ thấy:$$\lim_{n \to+\infty} {\frac { \left( \Gamma \left( n+1 \right) \right) ^{2} }{\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right) \Gamma \left( n+\frac{3}{2} \right) }}=1$$Suy ra $$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}$$
Bài này không cần xài đến hàm Gamma đâu nhé,lòe thiên hạ ghê quá Nhưng nếu em chứng minh được các nhận định trên bằng cách sơ cấp nhất có thể thì sẽ rất là thú vị đấy
Spoiler
- supermember và Zaraki thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmf ^^
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Tìm GTLN-GTNN của tích $n$ số khi biết tổng bằng $a$ và mỗi số đều thuộc $(0;b]$.Bắt đầu bởi dark templar, 27-01-2013 vmf ^^ |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh