Chủ đề này có 4 trả lời

[dark templar]

Bài toán : Chứng minh rằng :
$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{4^{k}(k+1)}\binom{2k}{k}=2$$

[supermember]

Hình như là vầy:

$ \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{1-x}} dx$

Trong đó, hãy chú ý một chút đến khai triển chuỗi luỹ thừa hình thức dạng cơ bản:

$ \frac{1}{ \sqrt{1-4x}} = \sum_{k=0}^{ \infty} \binom{2k}{k}x^k$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 10-03-2013 - 22:10

[dark templar]

Hình như là vầy:

$ \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{1-x}} dx$

Cái này em xuất phát từ khai triển chuỗi của dãy Catalan .Anh giải bằng cách khác thì tốt quá.

[perfectstrong]

Cái này em xuất phát từ khai triển chuỗi của dãy Catalan .Anh giải bằng cách khác thì tốt quá.

Quả thực, em chỉ biết xét bằng hàm sinh số Catalan, còn cách khác thì em chưa học tới
\[
f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( \begin{array}{c}
2k \\
k \\
\end{array} \right)}}{{k + 1}}t^k } = \frac{{1 - \sqrt {1 - 4t} }}{{2t}} \Rightarrow S = f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 2
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-03-2013 - 09:20

[dark templar]

Quả thực, em chỉ biết xét bằng hàm sinh số Catalan, còn cách khác thì em chưa học tới
\[
f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( \begin{array}{c}
2k \\
k \\
\end{array} \right)}}{{k + 1}}t^k } = \frac{{1 - \sqrt {1 - 4t} }}{{2t}} \Rightarrow S = f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 2
\]

Cũng giống như khai triển chuỗi vậy thôi Hân Quan trọng là em chứng minh được làm sao ta có khai triển đó không thôi