Đến nội dung


Hình ảnh

Số học -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 44 trả lời

#41 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 24-06-2013 - 08:16

Ta dễ dàng có nghiệm của phương trình là $(a;b)=(u_{n};u_{n+1})$ với dãy $\{u_n\}$ được xác định bởi $u_{0}=1;u_{1}=4$, $u_{n+1}=6.u_n-u_{n-1}$

$\bullet$ với $n=4$ ta có ngay nghiệm khởi đầu bằng $(2;2)$. 

Phương trình trở thành $a^2+b^2-3ab=-4$.

Làm tương tự trên là có ngay nghiệm của phương trình là $(a;b)=(u_{n};u_{n+1})$ với dãy $\{u_n\}$ được xác định bởi $u_{0}=2;u_{1}=2$, $u_{n+1}=3.u_n-u_{n-1}$....

Spoiler

Hình như cậu làm sót nghiệm rồi Đạt à. Với trường hợp $n=7$ ta còn có 1 bộ nghiệm khởi đầu là ($1;2$) và do đó ta còn một dãy nghiệm xác định bới $(a,b)=(u_{n};u_{n+1})$ với $u_{1}=1;u_{2}=2;u_{n+1}=6u_{n}-u_{n-1}$.

 

======================

 

Có ai có tài liệu về pt Markov ở trên k?

=======================


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 24-06-2013 - 08:28


#42 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 20:37

Lời giải bài toán 28 :

Ta sẽ chứng minh $S=\left\{\frac{k(k-1)}{2}| 1\leq k \leq 2^{n}\right\}$ là 1 hệ thặng dư đầy đủ modulo $2^{n}$. Thật vậy giả sử tồn tại 2 số $1\leq a< b\leq 2^{n}$ mà $\frac{a(a-1)}{2}\equiv \frac{b(b-1)}{2}\pmod{2^{n}}\Rightarrow \frac{(a-b)(a+b-1)}{2}\equiv 0 \pmod{2^{n}}$.

Nhưng $a-b$ và $a+b-1$ khác tính chẵn lẻ, nên $a-b\vdots 2^{n+1}$ hoặc $a+b-1\vdots 2^{n+1}$. Và cả 2 điều này không xảy ra do $0<a-b<a+b-1<2^{n+1}$.

Kết thúc chứng minh $\square$

 

Lời giải bài toán 29 :

Chúng ta nhắc lại 1 đẳng thức quen thuộc với số Fibonacci :

$$F_{pn}=\sum^{k}_{i=0}\binom{p}{1}F_i.F^{i}_{n}.F^{p-i}_{n-1}$$

Bây giờ giả sử $p^{\alpha}|F_{n}$ với $\alpha>0$. Số hạng ở trên tương ứng với $i=0$ là $0$, còn lại tất cả các số hạng khác đều chia hết ch0 $p^{\alpha+1}$ (Vì có nhân tử $p$ và $F_{n}$), suy ra $p^{\alpha+1}| F_{pn}$.

Cuối cùng, để ý $2|F_{3}$ và $5|F_{5}$, $(F_{a};F_{b})=F_{(a;b)}$, chúng ta có $10^{k}|F_{15.10^{k-1}}$. Và từ đây ta có điều phải chứng minh $\square$

 

Bài 30 các bạn suy nghĩ tiếp nhé, khá hay đấy :P

 

Bài toán 31 :

Chứng minh rằng pt sau không có nghiệm nguyên dương :

$$x^3+y^3=(x+y)^2+(xy)^2$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 02-07-2013 - 21:31

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#43 dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 07-08-2013 - 23:38

Bài toán 31 :

 

 

Em không chắc lắm .

$x+y=m,xy=n$

Ta có : $m^3=m^2+3mn+n^2$(*)

$n^2=mk$ (1)

Suy ra : $m|3n+k$

Do đó : $m|kn$

Vậy : $m^2|n^3$ (2)

Từ (1,2) có $m|n$ (?!)

Đặt : n=mt

Có $m=1+3t+t^2$

Suy ra : $4m=36+12t+t^2-32=(t+6)^2-32$(3)

Mặt khác ,xét : $\Delta _{*}=9m^2-4(m^2-m^3)=m^2(5+4m)$

Do (*) là phương trình nghiệm nguyên có hệ số nguyên : $4m=z^2-5$(4)

Kết hợp (3),(4) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 08-08-2013 - 00:31


#44 chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\star\star\star\star\star $

Đã gửi 11-04-2014 - 21:53

Bài 32: 

 

Một bộ số $(u,v,w)$ được gọi là đẹp nếu \[ \begin{cases}u>v+w \\ u^t-v^t-w^t\equiv 1\pmod{uvw+1} , \forall t\equiv \pm 1\pmod 6\end{cases}\]
Tìm tất cả bộ đẹp.
 
enjoy!!!


#45 nukata123

nukata123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán,nhạc,thể thao

Đã gửi 10-02-2015 - 20:05

Ta có $m^4+m^3+1=m^3(m+1)+1=k^2$ dễ thấy $k$ lẻ.

Biển đổi thành $m^3(m+1)=(k-1)(k+1)$ mà $(k-1;k+1)=2$ và $(m;m+1)=1$ nên $m=m(m+1)-m^2=(k+1)-(k-1)=2$

Vậy số nguyên thỏa mãn là $m=2$ :D

Mình không hiểu đoạn m=m(m+1)-m^2=(k+1)-(k-1) bạn có thể giải thik được k :D







3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh