Đến nội dung

Hình ảnh

PT-HPT-BPT Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathslink.ro

- - - - - tuyển tập-sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 94 trả lời

#81
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Bài 36: Giải hệ phương trình: 3c6921716bf86173d45b8577adfdcf54b8fd0d42

Đây là hướng dẫn giải trên ML, các bạn dịch được!

 

Cách 1:

Let 97f9a551accee0b2097a72f55d2f3266031460e0

Then, we have that

13a7416e2dd5ec45d519022b29063908854d3223
2f97d68ef282184cf8366f732e25db9e901f253b
f895fcb70b16ae557080caab48929d7be0d91cae
53266f13ff734f7f77443e5701225c6a973c3548

from the triple angle formulas.

 

Cách 2:

Put cad35d600193d6698fa37800f787b11d6afd82c0, then cac58d2d150ebe53700b4737d6404470f6a53df1 with solutions for $x:0;\sqrt5;-\sqrt5$
Put 61c4d86c156ac35be21f47c8736ad1cecc823022, then 07f94d3a64dab883a3c7094c5001925e9040338d with solutions for $x:1;-1$

----------------

Chú ý nghiệm $x=\sqrt5$



#82
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Đề mới:

 

Bài toán 37: Giải PT ${\left( { - 3} \right)^{\left\lfloor {{{\log }_4}x} \right\rfloor }} + {x^{\left\lfloor {{{\log }_4}x} \right\rfloor }} = 1$.

 

Bài toán 38: Cho số nguyên dương $n$.Giải PT $\log _2^n\left( {2{x^2} + 2} \right) + \log _{{x^2} + 1}^n\left( {2{x^2} + 2} \right) = 8$

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-06-2013 - 21:11

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#83
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Đề mới:

 

Bài toán 37: Giải PT ${\left( { - 3} \right)^{\left\lfloor {{{\log }_4}x} \right\rfloor }} + {x^{\left\lfloor {{{\log }_4}x} \right\rfloor }} = 1$.

 

Bài toán 38: Cho số nguyên dương $n$.Giải PT $\log _2^n\left( {2{x^2} + 2} \right) + \log _{{x^2} + 1}^n\left( {2{x^2} + 2} \right) = 8$

Lời giải bài toán 37:

Ta phải có $x>0$.

 

Đặt $ n =\lfloor\log_4(x)\rfloor $. PT tương đương với:

$ (-3)^n+x^n = 1 $ với $n \in \mathbb{Z}$ và $4^{n} \le x \le 4^{n+1}$.

 

$n=0$ không là nghiệm.Xét $n > 0$.Ta có:

$ 4^n\le x < 4^{n+1} $$\iff 4^{n^2}\le x^n < 4^{n^2+n} $

 

Và do đó $ 4^{n^2}\le 1-(-3)^n < 4^{n^2+n} $.Điều này chứng tỏ rằng $n$ lẻ và $ 4^{n^2}\le 3^n+1 < 4^{n^2+n} $.

 

Vậy $n=1$ và $x=4$ là nghiệm.

 

Xét $x<0$.Ta có:

$ 4^n\le x < 4^{n+1} $$\iff  4^{n^2+n}< x^n\le 4^{n^2} $.

 

Suy ra $ 4^{n^2+n}< 1-(-3)^n\le 4^{n^2} $.Do đó $n=-1$ vì nếu $n \neq -1$ thì $ 4^{n^2+n}> 4 > 1-(-3)^n $.

 

Từ đó ta có $x=\frac{3}{4}$ là nghiệm.

 

Vậy PT có nghiệm là $ \boxed{\displaystyle x \in\left\{\frac{3}{4},4 \right\}} $.

 

Lời giải bài toán 38:

PT tương đương với $ (1+\log_2(x^2+1))^n(1+\frac {1}{\log_2^n(x^2+1)}) = 8 $

 

Hay $ (1+z)^n(1+\frac {1}{z^n}) = 8 $,với $ z =\log_2(x^2+1) > 0 $.

 

Để ý rằng nếu $z$ là nghiệm thì $\frac{1}{z}$ cũng là nghiệm.

 

Do đó nếu tồn tại 1 nghiệm dương $a$ với $n \ge 3$,ta có thể giả sử $a \ge 1$;nếu $a<1$ thì chúng ta chỉ việc chọn $\frac{1}{a}$.

 

Suy ra:

$ (1+1)^n(1+a^n)\ge $$ (1+1)^n(1+a^n)\ge $$ 2^n(1+a^n)\ge 8a^n+8 > 8a^n $,hay PT vô nghiệm.

 

Vậy ta sẽ có $n=1$ hay $n=2$.

 

Nếu $n=1$ thì $ (1+z)^2 = 8z $.PT này sẽ có 2 nghiệm là $z=3 \pm 2\sqrt{2}$,cho ta 4 nghiệm của PT ban đầu là $ x =\pm\sqrt{2^{3-2\sqrt 2}-1} $ và $ x =\pm\sqrt{2^{3+2\sqrt 2}-1} $

 

Nếu $n=2$ thì $ (1+z)^2(1+z^2) = 8z^2 $,tương đương với $ z^4+2z^3-6z^2+2z+1 = 0 $$\iff  (z-1)^2(z^2+4z+1) = 0 $.PT này có duy nhất nghiệm kép dương là $z=1$,từ đó cho ta 2 nghiệm của PT ban đầu là $x= \pm 1$.

 

Kết luận:

  • $n=1$ PT sẽ có 4 nghiệm là $ \boxed{x\in\left\{-\sqrt{2^{3+2\sqrt 2}-1},-\sqrt{2^{3-2\sqrt 2}-1},\sqrt{2^{3-2\sqrt 2}-1},\sqrt{2^{3+2\sqrt 2}-1} \right\}} $
  • $n=2$ PT sẽ có 2 nghiệm là $ \boxed{x\in\{-1,+1\}} $

  • $n>2$ PT vô nghiệm.

==========

Đề mới:

 

Bài toán 39: Tìm tất cả các nghiệm của PT $ (a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)=3b^{2}(2(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}))^{\frac{1}{3}} $

 

Bài toán 40:  Giải hệ PT $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^2} = 2\\{x^2} + xy + {y^2} - y = 0\end{array} \right.$ trên tập $\mathbb{R}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-06-2013 - 21:10

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#84
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Bài toán 40:  Giải hệ PT $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^2} = 2\\{x^2} + xy + {y^2} - y = 0\end{array} \right.$ trên tập $\mathbb{R}$.

 

Coi phương trình thứ hai của hệ ẩn $x$, tham số $y$ ta có:

 

                                $x^{2}+xy+y^{2}-y=0$

Phương trình trên có $\Delta_{x} =y^{2}-4(y^{2}-y)=-3y^{2}+4y\geq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq \frac{4}{3}$

 

Coi phương trình thứ hai của hệ ẩn $y$ tham số $x$ ta có:

                               $y^{2}+y(x-1)+x^{2}=0$

Phương trình trên có $\Delta_{y} =(x-1)^{2}-4x^{2}=-3x^{2}-2x+1\geq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{3}$

 

Do đó: $x^{3}+y^{2}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}+\left (\frac{4}{3} \right )^{2}=\frac{1}{27}+\frac{16}{9}=\frac{49}{27}<2$

 

Do đó hệ đã cho vô nghiệm



#85
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Giải ra 1 bài sẽ đưa lên bài mới,nhưng các bạn cũng đừng quên giải các bài cũ còn tồn đọng :D

 

Bài toán 41: Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2-kyz=y^2-kzx=z^2-kxy$.Tìm $k$ và bộ nghiệm $(x;y;z)$ tương ứng.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#86
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết


Bài toán 39: Tìm tất cả các nghiệm của PT $ (a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)=3b^{2}(2(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}))^{\frac{1}{3}} $

 

 

Ta có:

$VP=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)=((a+b)^2+b^2)((a-b)^2+b^2)=((a^2-b^2)^2)+b^4+b^2.2.(a^2+b^2)\geq 3b^2.\sqrt[3]{2.(a^2-b^2)^2.(a^2+b^2))}=VT$

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

$(a^2-b^2)^2=2b^2(a^2+b^2)=b^4$

-Nếu $b=0 \Rightarrow a=0$ thỏa mãn

-Nếu $b\neq 0\Rightarrow 2a^2+2b^2=b^2\Rightarrow 2a^2=-b^2$ (vô lí)

Vậy nghiêm của phương trình là:

(a;b)=(0;0)

:icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 04-06-2013 - 14:47

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#87
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


Bài toán 39: Tìm tất cả các nghiệm của PT $ (a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)=3b^{2}(2(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}))^{\frac{1}{3}} $

Lời giải bài toán 39:

PT tương đương $ a^4+4b^4=3b^2\sqrt[3]{2(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)} $

 

Nếu $b=0$ thì ta có nghiệm là $(a;b)=(0;0)$.

 

Nếu $b \neq 0$,đặt $x=\frac{a^2}{b^2}$ thì PT trở thành $ x^2+4=3\sqrt[3]{2(x-1)^2(x+1)} $

$ x^6+12x^4-54x^3+102x^2+54x+10=0 $

$ x^6+12x^2\left(x-\frac{27}{12} \right)^2+\frac{495}{12}x^2+54x+10=0 $

 

Dễ thấy rằng PT trên không có nghiệm không âm.

 

Vậy nghiệm của PT ban đầu là $ \boxed{(a,b)=(0,0)} $

 

==========

Đề mới:

 

Bài toán 42: Cho $a,b>1$ thỏa $ab=a+b$.Giải PT sau trên tập $\mathbb{R}$:

$$ x[(b-1)a^x+(a-1)b^x-x-ab+2]=(a^x-1)(b^x-1) $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-06-2013 - 12:52

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#88
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài toán 41: Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2-kyz=y^2-kzx=z^2-kxy$.Tìm $k$ và bộ nghiệm $(x;y;z)$ tương ứng.

Lời giải bài toán 41: 

Nếu không có số nào trong 3 số $x,y,z$ bằng nhau thì $ x^2-y^2 =-kz(x-y) $,suy ra $ x+y =-kz\,. $.Tương tự,ta có $y+z=-kx;z+x=-ky$.

 

Cộng tất cả lại,ta được $(k+2)(x+y+z)=0$.Do đó $k=-2$ hay $x+y+z=0$.Nếu $k=-2$,thì $x+y=2z;y+z=2x;z+x=2y$ dẫn tới $x=y=z$,mâu thuẫn.Vậy $x+y+z=0$,suy ra $k=1$.Trong trường hợp này $k=1$ và $x+y+z=0$.

 

Bây giờ,giả sử $y=z$,nghĩa là $ x^2-ky^2 = y^2-kxy\,. $,hay $ (y-x)((k+1)y+x) = 0\,. $.Do đó $x=y=z$ hoặc $y=z$ và $x=-(k+1)y$.

 

Kết luận:

$(\star):k=1$ và $(x;y;z)=(a;b;-a-b)$.

$(\star):k \in \mathbb{R}$ và $(x;y;z)=(a;a;a)$.

$(\star):k \in \mathbb{R}$ và $(x;y;z)$ là hoán vị của $(a;a;-(k+1)a)$.

 

Trong đó $a,b$ là tham số bất kỳ.

 

Bài toán 42: Cho $a,b>1$ thỏa $ab=a+b$.Giải PT sau trên tập $\mathbb{R}$:

$$ x[(b-1)a^x+(a-1)b^x-x-ab+2]=(a^x-1)(b^x-1) $$

Lời giải bài toán 42:

Do $a+b=ab$ và:

$ (b-1)a^x+(a-1)b^x-x-ab+2 $

$ =(b-1)a^x+(a-1)b^x-x+(1-a)+(1-b) $

$ =(b-1)(a^x-1)+(a-1)(b^x-1)-x, $

 

Suy ra PT ban đầu tương đương với:

$ x^2-x((b-1)(a^x-1)+(a-1)(b^x-1))+(a^x-1)(b^x-1)=0. $

 

Do $(a-1)(b-1)=1$ nên ta có:

$ \Delta=((b-1)(a^x-1)+(a-1)(b^x-1))^2-4(a^x-1)(b^x-1) $

$ =((b-1)(a^x-1)-(a-1)(b^x-1))^2, $

 

Hay $x=(b-1)(a^{x}-1)$ hoặc $x=(a-1)(b^{x}-1)$.

 

Ở trường hợp đầu,ta có $ (b-1)a^x-x-(b-1)=0. $ PT này có tối đa 2 nghiệm do $ ((b-1)a^x-x-(b-1))''>0 $,suy ra $x \in \{0;1 \}$ là nghiệm.

 

Từ đó PT có 2 nghiệm là $x \in \{0;1 \}$.

 

====================

Đề mới:

 

Bài toán 43: Giải PT $ x^2.2^{x+1}+2^{|x+3|+2}=x^2.2^{|x-3|+4}+2^{x-1} $

 

Bài toán 44: PT $ {|x^2-1|+x^2+kx=0} $ có duy nhất 2 nghiệm thuộc $(0;2)$,tìm điều kiện của $k$ và chứng minh $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<4$,với $x_1;x_2$ là 2 nghiệm của PT ban đầu.

-22-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-06-2013 - 21:09

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#89
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

 

giải pt

6căn(2x+4)-4căn(x+1)=x+8

 

 

Bạn này spam quá. Nhắc nhở bạn 1 lần thôi, lần sau là cho ra đảo luôn.

 

Đề là thế này $6\sqrt{2x+4}-4\sqrt{x+1}=x+8$ .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#90
truongnkt113

truongnkt113

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

không thêm bài ạ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongnkt113: 15-11-2013 - 01:57


#91
Augustin Louis Cauchy 1998

Augustin Louis Cauchy 1998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Các anh có thể cho em file đc lo ạ! Em xin cám ơn trước!


                             :angry:ĐỘC CÔ CẦU BẠI :angry:

           Nỗi đau đến rồi sẽ đi , nhưng kết quả mà nó để lại cho mỗi người là tùy vào cách cảm nhận nỗi đau đó !

                                                          

       

                                                                                 

   :off:    Nỗi buồn luôn bên tôi ! Chỉ có toán mới làm cho vơi đi nỗi buồn đó !   :botay

                Augstin Louis Cauchy 1998

 

            sống để học toán

 

                                 A^n  + B^n  =  C^n 

 

    có nghiệm nguyên với mọi n 


#92
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Em xin bổ sung thêm 1 cách giải cho bài toán số 1:

Bài toán 1:
Giải phương trình sau :

                                      \sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x

2x+33+1=x3+3x2+2x

Từ pt ta có: $\sqrt[3]{(x+1)+x+2}=(x+1)^{3}-x-2$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{2x+3}=a\\x+1=b \end{matrix}\right.$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a^{3}=b+x+2\\b^{3}=a+x+2 \end{matrix}\right.$ => a=b

=> $2x+3=(x+1)^{3}<=>x^{3}+3x^{2}+x-2=0 <=> (x+2)(x^{2}+x-1)=0<=>\begin{bmatrix} x=-2\\ \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$



#93
NS 10a1

NS 10a1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau.

Nào,chúng ta cùng bắt tay vào vấn đề chính . :)

Bài toán 1:
Giải phương trình sau :
\[\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x\]

bài này dùng hệ đối xứng 



#94
KhanhMyss

KhanhMyss

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

14718613_530853583780992_510030578431827
giải hpt, help :(



#95
tranphamminhnhut2403

tranphamminhnhut2403

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Bạn này spam quá. Nhắc nhở bạn 1 lần thôi, lần sau là cho ra đảo luôn.

 

Đề là thế này $6\sqrt{2x+4}-4\sqrt{x+1}=x+8$ .

ĐK:$x\geqslant -1$

$-4\sqrt{x+1}=x+8-6\sqrt{2x+4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-2)^{2}=(\sqrt{2x+4}-3)^{2}$

Từ đây bạn chia TH ra giải tiếp bằng cách nâng lũy thừa(khử hết căn thì x có bậc là 2). Từ đó suy ra được nghiệm của phương trình.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tuyển tập-sưu tầm.

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh