Chủ đề này có 2 trả lời

[hand of god]

Cho 3 số thục dương thoả mãn $a+b+c= 3$ chứng minh rằng
$\sum \frac{a}{ab+3c}\geq \frac{3}{4}$

[Oral1020]

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh lại thành:
$\sum a(a+b) \ge 8$
$\Longleftrightarrow \sum a(3-c) \ge 8$
$\Longleftrightarrow 9- \sum ab \ge 8$ (Đúng)

[25 minutes]

Cho 3 số thục dương thoả mãn $a+b+c= 3$ chứng minh rằng
$\sum \frac{a}{ab+3c}\geq \frac{3}{4}$

Thay $a+b+c=3$ vào ta có
$\sum \frac{a}{ab+3c}= \sum \frac{a}{ab+c(a+b+c)}= \sum \frac{a}{(c+a)(c+b)}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh : $\sum \frac{a}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac) \geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$
Áp dụng AM-GM ta có : $3(a+b)(b+c)(c+a) \leq 3(\frac{a+b+b+c+c+a}{3})^3=24$
Lại có : $4\left ( a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac \right )=4\left ( 9-(ab+bc+ac) \right )\geq 4(9-\frac{(a+b+c)^2}{3})=24$
Do đó ta có ngay đpcm