Chủ đề này có 4 trả lời

[kimthoa]

$\cos^3 A+ \cos^3 B+\cos^3 C+\cos A.\cos B.\cos C \geq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 13-03-2013 - 22:09

[Ispectorgadget]

$\cos^3 A+ \cos^3 B+\cos^3 C+\cos A.\cos B.\cos C \geq \frac{1}{2}$

Ta đặt $cosA=a,\,cosB=b,\,cosC=c,$ thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$a^3+b^3+c^3+abc \ge \frac{1}{2}$
Ta có: $$a^2+b^2+c^2+2abc=1 \Rightarrow abc=\dfrac{1}{2}\left(1-a^2-b^2-c^2 \right). $$

Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh, ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$2(a^3+b^3+c^3) \ge a^2+b^2+c^2$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm, ta được: $$\sum\left(a^3+b^3+\frac{1}{8} \right) \ge \frac{3}{2}a^2$$
$$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \ge \frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{8}$$
Ta cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{3}{4}$$
Điều này dễ dàng chứng minh dựa vào đẳng thức $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ và bất đẳng thức $abc \le \dfrac{1}{8}$.
Vậy bài toán được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{60}^{\circ}$.

[kimthoa]

Bạn ơi sao có đẳng thức : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1$ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 17-03-2013 - 08:47
Chú ý viết Tiếng Việt có dấu nhé :)

[Ispectorgadget]

ban oi tai sao co dang thuc : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1. nho ban li giai ho mjh cai

Cái này đựa trên $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A.\cos B.\cos C=1$

[cool hunter]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm, ta được: $$\sum\left(a^3+b^3+\frac{1}{8} \right) \ge \frac{3}{2}a^2$$

e nghĩ chỗ này là: $\sum\left(a^3+a^3+\frac{1}{8} \right) \ge \frac{3}{2}\sum a^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 17-03-2013 - 08:48