Đến nội dung

Hình ảnh

PT Hàm -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

- - - - - tuyển tập sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 76 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mong các bạn hãy đọc qua topic sau.

Nào,chúng ta cùng bắt đầu vấn đề chính.

Bài toán 1: Cho $T$ là một số chẵn. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho :
  • $f(f(n)) = n + T$
  • $f(n + 1) > f(n)$

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bài toán 1: Cho $T$ là một số chẵn. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho :

  • $f(f(n)) = n + T$
  • $f(n + 1) > f(n)$

Ta sẽ chứng minh $f(n+1)-f(n)=1$
Thật vậy giả sử tồn tại $m$ sao cho $f(n+1)> m>f(n)$ thì $n+1+T=f(f(n+1))>f(m)>f(f(n))=n+T$ (vô lí) :) nên $f(n+1)=f(n)+1$
Ta có $f(n+k)=f(n+k-1)+1=...=f(n)+k$
Với $n=0$ thì $f(f(0))=T$
Cho $f(0)=t$ được $f(t)=T$
Ta có $f(t)-f(0)=T-t=t \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}$
Mà $f(x)=x+f(0)$ nên hàm cần tìm là $f(x)=x+\dfrac{T}{2}$ :biggrin:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 15-03-2013 - 11:02

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Thêm bài khác đi anh, em không có ôn PTH trên các hàm khác $\mathbb{R}$ ( vì 30-4 khối 11 không cho).

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Thêm bài khác đi anh, em không có ôn PTH trên các hàm khác $\mathbb{R}$ ( vì 30-4 khối 11 không cho).

Thế nếu bây giờ anh bỏ đi điều kiện 2 là $f(n+1)>f(n)$ thì bài toán còn giải được không ? Em hãy suy nghĩ đi nhé ,trước khi ta bắt đầu bài mới ;)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Thế nếu bây giờ anh bỏ đi điều kiện 2 là $f(n+1)>f(n)$ thì bài toán còn giải được không ? Em hãy suy nghĩ đi nhé ,trước khi ta bắt đầu bài mới ;)

Bỏ điều kiện 2 đi thì ta làm như sau :D
Đặt $f(n)=g(n)+n$
Ta được $g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n=n+T$ hay $g(f(n))=T-g(n)$
Cho $n=f(m)$ được $g(f(f(m)))=T-g(f(m)) \Rightarrow g(m+T)=g(m)$
Vậy $f(n)=n+g(n)$ với $g(n)$ là hàm tuần hoàn trên $\mathbb{N}$ chu kì $T$ >:)
Giờ ra tiếp bài mới được chưa ạ :luoi:

Khi bạn đặt $g(n)=f(n)-n$, bạn có đảm bảo $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$?

Thì mình mới nói là "với $g(n)$ là hàm tuần hoàn trên $\mathbb{N}$", chứ cũng không chắc là $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ đâu bạn ạ :luoi:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 15-03-2013 - 22:20

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Bỏ điều kiện 2 đi thì ta làm như sau :D
Đặt $f(n)=g(n)+n$
Ta được $g(f(n))+f(n)=g(f(n))+g(n)+n=n+T$ hay $g(f(n))=T-g(n)$
Cho $n=f(m)$ được $g(f(f(m)))=T-g(f(m)) \Rightarrow g(m+T)=g(m)$
Vậy $f(n)=n+g(n)$ với $g(n)$ là hàm tuần hoàn trên $\mathbb{N}$ chu kì $T$ >:)
Giờ ra tiếp bài mới được chưa ạ :luoi:

Khi bạn đặt $g(n)=f(n)-n$, bạn có đảm bảo $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Tiếp tục đề mới nào :)

Bài toán 2: Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho $3f(f(x)) - 8f(x) + 4x = 0$.

Bài toán 3: Giả sử $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ là 1 hàm tăng sao cho :
$$f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))),\quad \forall x,y \in \mathbb{R^+}.$$
Chứng minh rằng $f(x) = {f^{ - 1}}(x).$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#8
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Tiếp tục đề mới nào :)
Bài toán 3: Giả sử $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ là 1 hàm tăng sao cho :
$$f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))),\quad \forall x,y \in \mathbb{R^+}.$$
Chứng minh rằng $f(x) = {f^{ - 1}}(x).$


Nghe vẻ bài 3 dễ hơn :)
Thay $x,y$ bằng $x+f(y),y+f(x)$
Ta được $$f(x+f(y)+ y+f(x)) + f(f(x+f(y)) + f(y+f(x))) = f(f(x + f(y)+f(y+f(x))) + f(y + f(x)+f(x+f(y))))$$
$$\Leftrightarrow f(x+f(y)+ y+f(x)) + f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)+f(y+f(x))) + f(y + f(x)+f(x+f(y))))$$
Giả sử $f(y) \geq y$ Vì là hàm tăng nên
$$f(f(x + f(y)+f(y+f(x))) + f(y + f(x)+f(x+f(y))))$$
$$\geq f(f(x + f(y)+y+f(x)) + f(y + f(x)+x+f(y)))$$
$$\geq f(x+f(y)+ y+f(x)) + f(x + y) + f(f(x) + f(y))$$
Vậy $f(x)=x$ :D
$f^{-1}(x)$ là hàm ngược thì phải không biết có chứng minh được đề không
:mellow:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 19-03-2013 - 11:40

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#9
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Tiếp tục đề mới nào :)

Bài toán 2: Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho $3f(f(x)) - 8f(x) + 4x = 0$.


Bài này thiếu đề không anh? Theo em nghĩ là cần toàn ánh nữa.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#10
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài này thiếu đề không anh? Theo em nghĩ là cần toàn ánh nữa.

Bài này không thiếu đề đâu,chỉ cho nhiêu đó giả thuyết :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Tiếp tục đề mới nào :)

Bài toán 2: Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho $3f(f(x)) - 8f(x) + 4x = 0$.
 

Ta thấy $3f^n(x)-8f^{n-1}+4f^{n-2}=0$

Nó giống với dạng $u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}$

Sử dụng phương pháp sai phân: có phương trình đặc trưng là $3x^2-8x+4=0$ được hai nghiệm $x_1=2,x_2=\frac{2}{3}$

Ta có $f^n(x)=k  \cdot 2^n+h \cdot (\frac{2}{3})^n$

Thay $k+h=x,2k+\frac{2}{3} h=f(x)$

Được công thức tổng quát :

$$f^n(x)=\left ( \frac{3}{4} \cdot f(x)-\frac{x}{2} \right )\cdot 2^n -\left ( \frac{3}{4}\cdot f(x)- \frac{3x}{2} \right )\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^n$$

Do $f^n(x)$ nguyên nên $3^{n-1}|f(x)-2x$ hay $f(x)=2x$

Thử lại thấy thỏa mãn :D

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=2x$


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#12
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Lời giải của bạn Idie9xx cho bài toán 2 là lời giải chuẩn rồi :)

 

Lời giải bài toán 3:

$f(x)$ là hàm tăng nên ta có thể xác định được 2 hàm dương tăng sao cho :

$$h(x) \ge f(x) \ge g(x):g(x) = \mathop {\lim }\limits_{z \to {x^ + }} f(z);h(x) = \mathop {\lim }\limits_{z \to {x^ - }} f(z)$$

 

$f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))) > f(x + y)$ ,vậy thì :

$$f(x + f(y)) + f(y + f(x)) < x + y$$

 

Cho $x,y \to 0^+$ thì tư BĐT trên chỉ ra rằng $f(x)$ có thể nhỏ tùy thích,do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =  + \infty $.

 

$\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x + y) = g(x)$

$\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(f(x) + f(y)) = 0$

 

Và như vậy $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} (f(x + y) + f(f(x) + f(y))) = g(x)$.

 

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0 + } f(x + f(y)) = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0 + } f(f(x) + y) = g(f(x))$

 

Và như vậy $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} (f(x + f(y)) + f(f(x) + y)) = g(f(x))$.

 

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(f(x + f(y)) + f(f(x) + y))$ tồn tại (do VT có giới hạn) và do đó $ \in \{ g(g(f(x))),h(g(f(x)))\} $.

 

Vậy $\forall x$: $g(x) = g(g(f(x))),$ hoặc $g(x) = h(g(f(x)))$ và từ $h(x) \ge g(x),\forall x$,ta thu được từ 2 trường hợp này $g(x) \ge g(g(f(x)))$.

 

Vậy $g(f(x)) \ge x,\forall x$ ;$f(f(x)) \ge x,\forall x$.

 

Thay $x \to f(x):f(f(f(x))) \ge f(x)$ và từ tính tăng của hàm số ta có $f(f(x)) \le x$.

 

Do đó $f(f(x)) = x,\forall x$,đpcm.

 

**********

Đề mới :

 

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ sao cho :

$$({x^2} + x + 1).f({x^2} - x + 1) = ({x^2} - x + 1).g({x^2} + x + 1)$$

Với mọi $x  \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Cho $f(x) = {x^n} + ... + x + 1$ và $g(x) = f({x^{n + 1}})$.Tìm dư khi chia $g(x)$ cho $f(x)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2013 - 21:42

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ sao cho :

$$({x^2} + x + 1).f({x^2} - x + 1) = ({x^2} - x + 1).g({x^2} + x + 1)$$

Với mọi $x  \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Cho $f(x) = {x^n} + ... + x + 1$ và $g(x) = f({x^{n + 1}})$.Tìm dư khi chia $g(x)$ cho $f(x)$.

Bài 5: Nhận xét $x^{n+1}-1=(x-1) \cdot f(x)$ và $(x^{n+1})^k-1=(x^{n+1}-1)(\sum_{i=0}^{k-1} (x^{n+1})^i)$

Biến đổi $$g(x)=f(x^{n+1})=\sum_{i=0}^{n} (x^{n+1})^i=\sum_{i=0}^{n}((x^{n+1})^i-1)+(n+1)$$

$$=(x^{n+1}-1)(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=0}^{j-1}(x^{n+1})^i))+(n+1)=f(x)\cdot (x-1)(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=0}^{j-1}(x^{n+1})^i))+(n+1)$$

Vậy phép chia $g(x)$ cho $f(x)$ dư $n+1$ :)

Bài 4 khó ghê :wacko:


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#14
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài toán 4: Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ sao cho :

$$({x^2} + x + 1).f({x^2} - x + 1) = ({x^2} - x + 1).g({x^2} + x + 1)$$

Với mọi $x  \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Cho $f(x) = {x^n} + ... + x + 1$ và $g(x) = f({x^{n + 1}})$.Tìm dư khi chia $g(x)$ cho $f(x)$.

Lời giải bài toán 4:

${x^2} + x + 1|g({x^2} + x + 1) \Rightarrow g(x) = x{g_1}(x)$

${x^2} - x + 1|f({x^2} - x + 1) \Rightarrow f(x) = x{f_1}(x)$

 

Như vậy ta có ${f_1}({x^2} - x + 1) = {g_1}({x^2} + x + 1)$.

 

Từ PT đầu tiên,thay $x \to  - 1 - x$ ta được:

 

$$\begin{array}{l}{f_1}({x^2} + 3x + 3) = {g_1}({x^2} + x + 1) = {f_1}({x^2} - x + 1)\\\Rightarrow {f_1}\left( {{{\left( {x + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right) = {f_1}\left( {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right)\end{array}$$
 
Đặt $h(x) = {f_1}\left( {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right)$ thì $h(x + 2) = h(x)$,vậy $h(x)$ là 1 hàm tuần hoàn chu kỳ 2.
 
Từ đó,ta có $f(x)=g(x)=xh(x)$ với $h(x)$ là hàm tuần hoàn chu kỳ 2.
 
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ giới hạn trong đa thức thì dễ dàng có $h(x)=const$,từ đó suy ra được $f(x)=g(x)=ax$,với $a$ là hằng số.
 
Lời giải bài toán 5:
Đặt ${z_k} = {e^{\frac{{2ki\pi }}{{n + 1}}}}$ với $k \in \{ 1,2, \ldots ,n\} $.
 
Ta có $z_k^{n + 1} = 1$ và $f({z_k}) = 0,\forall k \in \{ 1,2, \ldots ,n\} $.
 
Ta cũng có $g(x) = f(x)q(x) + r(x)$ với $\deg r(x)<n$.Vậy $g({z_k}) = f(z_k^{n + 1}) = f(1) = n + 1 = r({z_k})$ nên $r(x)$ là đa thức có $\deg r(x) \le n-1$ và nhận các giá trị bằng nhau với $n$ giá trị khác nhau,hay $r(x)$ là 1 hằng số.
 
Vậy $r(x) = n + 1$.
 
**********
Đề mới:
 
Bài toán 6: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ sao cho $f(m-n)f(m+n)=f(m^2);\forall m,n \in \mathbb{Z^+}$.
 
Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa :
  1. $f(xy)=f(x)f(y)$.
  2. $f(x+1)=f(x)+1$.

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#15
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa :

  1. $f(xy)=f(x)f(y)$.
  2. $f(x+1)=f(x)+1$.

Cho $x=0$ có $f(0)=0$ (thoả) hoặc $f(x)=1$ (mâu thuẫn với $(2)$).

Từ $(2)$ chứng minh theo qui nạp được $f(x+k)=f(x)+k, \forall k \in \mathbb{Z}$ thay $x=0$ thì $f(x)=x,\forall x \in \mathbb{Z}$

Từ $(1)$ thì $f(p)=f(q)f(\frac{p}{q}) \Rightarrow f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}$ với $\forall p,q \in \mathbb{Z}$ chứng minh được $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{Q}$

Có $f(x+y)=f(\frac{x}{y}+1)f(y)=(f(\frac{x}{y})+1)f(y)=f(x)+f(y)$ ( Hàm cộng tính ) :D

 Ta có $f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(-1)f(-y)=f(x)-f(y)$

và $f(x^2)=(f(x))^2 \geq 0$ ( $x>0$ thì $f(x)>0$ )

Nên $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ ( Hàm đơn điệu )

Vậy hàm thỏa là $f(x)=x$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 05-04-2013 - 14:05

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#16
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Đề mới:
 
Bài toán 6: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ sao cho $f(m-n)f(m+n)=f(m^2);\forall m,n \in \mathbb{Z^+}$.

-Với $m>4$ ta có:

$$(f(m))^2( f(m+2) f(m-2))=(f(m)f(m-2))(f(m)f(m+2))=f((m-1)^2)f((m+1)^2)$$

$$=(f(m+2)f(m-4))(f(m-2)f(m+4))=(f(m+2)f(m-2))(f(m+4)f(m-4))=(f(m+2)f(m-2))f(m^2)$$

$$\Rightarrow f(m^2)=(f(m))^2=f(m+1)f(m-1)$$

-Giả sử $f(m-1)<f(m) \Rightarrow f(m)<f(m+1)$

$f(m-1)=f(m) \Rightarrow f(m)=f(m+1)$

$f(m-1)>f(m) \Rightarrow f(m)>f(m+1)$ mà $f(m^2)=(f(m))^2$ ( vô lí )

Vậy $f$ đồng biến hoặc là hàm hằng trên khoảng $[5; + \infty)$ :D

-Với $f$ là hàm hằng:

Có $(f(m))^2=f(m^2) \Rightarrow (f(m))^2=f(m) \Rightarrow f(m)=1$

-Với $f$ đồng biến:

Có $f(1)f(5)=f(2)f(4)=f(2)(f(1)f(3)) \Rightarrow f(5)=f(2)f(3)$

 $\Rightarrow f(6)f(2)=f(5)f(3)=f(2)(f(3))^2 \Rightarrow f(6)=(f(3))^2$

$\Rightarrow f(4)(f(3))^2=f(4)f(6)=f(25)=(f(5))^2=(f(2))^2(f(3))^2  \Rightarrow f(4)=(f(2))^2$

$\Rightarrow (f(3))^4=(f(6))^2=f(36)=f(3)f(9) \Rightarrow f(9)=(f(3))^3$

$\Rightarrow (f(2))^3=f(4)f(2)=f(9)=(f(3))^3 \Rightarrow f(2)=f(3)$

$\Rightarrow f(4)=f(6) \Rightarrow f(5)=f(6)$ ( vô lí ) :D

Vậy hàm thỏa là $f(x)=1$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 03-04-2013 - 15:33

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#17
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

 

 

Bài toán 6: Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+}$ sao cho $f(m-n)f(m+n)=f(m^2);\forall m,n \in \mathbb{Z^+}$.

 
Bài toán 7: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa :
  1.  
  2. $f(xy)=f(x)f(y) \quad (1)$.
  3.  
  4. $f(x+1)=f(x)+1 \quad (2)$.
  5.  

Spoiler

Lời giải bài toán 6:

$f(n)f(n + 4) = f({(n + 2)^2}) = f(n + 1)f(n + 3) \Rightarrow \frac{{f(n + 4)}}{{f(n + 3)}} = \frac{{f(n + 1)}}{{f(n)}}$

 

Như vậy tồn tại $u,a,b,c$ sao cho :

 

$$\begin{array}{l}f(3p + 1) = u{a^p}{b^p}{c^p}\\f(3p + 2) = u{a^{p + 1}}{b^p}{c^p}\\f(3p + 3) = u{a^{p + 1}}{b^{p + 1}}{c^p}\end{array}$$
 
Thì ta có :

$\begin{array}{l}f(1)f(3) = f(4) \Rightarrow uuab = uabc \Rightarrow u = c\\f(1)f(5) = f(9) \Rightarrow uu{a^2}bc = u{a^3}{b^3}{c^2} \Rightarrow u = a{b^2}c\\f(1)f(7) = f(16) \Rightarrow uu{a^2}{b^2}{c^2} = u{a^5}{b^5}{c^5} \Rightarrow u = {a^3}{b^3}{c^3}\\f(1)f(9) = f(25) \Rightarrow uu{a^3}{b^3}{c^2} = u{a^8}{b^8}{c^8} \Rightarrow u = {a^5}{b^5}{c^6}\end{array}$
 
Vậy $a = b = c = u = 1$ và $f(n) = 1,\forall n.$
 
Lời giải bài toán 7:
Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow f(0) = 0$ hay $f(x) = 1$,$\forall x \ne 0.$. Kết hợp với $\left( 2 \right) \Rightarrow f(0) = 0.$
 
$\left( 2 \right) \Rightarrow f(n) = n,\forall n \in \mathbb{Z}$ và $\left( 1 \right) \Rightarrow f(x) = x,\forall x \in \mathbb{Q}$
 
$\left( 1 \right) \Rightarrow f(x) \ge 0,\forall x \ge 0$ và $f(x) \le 0,\forall x \le 0$.
 
$\left( 2 \right) \Rightarrow f(x) \ge 1,\forall x \ge 1$ và từ $(1)$ suy ra $f(x)$ là hàm không giảm.
 
Vì $f(x) = x,\forall x \in \mathbb{Q}$ và $f(x)$ là hàm không giảm nên suy ra $f(x) = x,\forall x \in \mathbb{R}$.
 
**********
Đề mới:
 
Bài toán 8: Nếu $f$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm lẻ.
 
Bài toán 9: Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(f^\circ f)(x) = \frac{{{x^9}}}{{({x^2} + 1)({x^6} + {x^4} + 2{x^2} + 1)}} \quad \forall x \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists !a \in \mathbb{R}$ để $f(a)=a$.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2013 - 21:51
Chèn link !

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

**********
Đề mới:
 
Bài toán 8: Nếu $f$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm lẻ.
 
Bài toán 9: Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(f^\circ f)(x) = \frac{{{x^9}}}{{({x^2} + 1)({x^6} + {x^4} + 2{x^2} + 1)}} \quad \forall x \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists !a \in \mathbb{R}$ để $f(a)=a$.

Xơi bài 8 trước :)

Cho $x=y=0$ được $f(0)=f(f(0))$

Cho $y=0$ được $f(f(x)-f(0))=f(f(x))$

Cho $y=f(0)$ được $f(f(x)-f(0))=f(f(x))+f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Cho $x=0$ được $f(-f(y))=-y$

Cho $x=y$ được $f(f(y))=y$

Ta có $f(f(x)-f(y))=x-y$

Thay $x,y$ bằng $f(x),f(-y)$ có $f(x+y)=f(x)-f(-y)$

Thay $x,y$ bằng $f(x),-f(y)$ có $f(x+y)=f(x)+f(y)$

$\Rightarrow f(y)=-f(-y)$

Vậy $f$ là hàm lẻ (dpcm) >:)

----------------

Giải nốt bài 9 :D

Biến đổi $(f^\circ f)(x) = \frac{x^9}{(x^2 + 1)(x^6 + x^4 + 2x^2 + 1)}=\frac{(x^3)^3}{(x^2 + 1)((x^3)^2 + (x^2+1)^2)}$

$=\frac{\left (\dfrac{x^3}{x^2 + 1}  \right )^3}{\left (\dfrac{x^3}{x^2 + 1}  \right )^2+1}$ ( do $x^2+1>0$)

Cho $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2 + 1} \Rightarrow (g^\circ g)(x))=(f^\circ f)(x)$

Cho $g(x)=x \cdot h(x)$ dễ thấy $1 > h(x) \geq 0 $

Xét phương trình $(g^\circ g)(x)=(f^\circ f)(x)=x$

Ta có $(g^\circ g)(x)=x \cdot h(x) \cdot h(g(x))=x \Rightarrow x=0$ ( do $h(x) \cdot h(g(x))<1$)

Nên phương trình $(f^\circ f)(x)=x$ có duy nhất một nghiệm $(*)$ >:)

Xét $(f^\circ f)(0)=0 \Rightarrow (f^\circ f)(f(0))=f((f^\circ f)(0))=f(0)$ do $(*)$ nên $f(0)=0$

Giả sử tồn tại $b \neq 0$ sao cho $f(b)=b \Rightarrow (f^\circ f)(b)=f(b)=b$ ( mâu thuẫn với $(*)$)

Vậy tồn tại duy nhất $a=0$ để $f(a)=a$ (dpcm) :D

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 08-04-2013 - 19:12

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#19
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


 

Bài toán 8: Nếu $f$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh $f$ là hàm lẻ.


 
 

Lời giải bài toán 8: 

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - y$ với mọi số thực $x,y$.

 

$P(x,x) \Rightarrow f(f(x)) = x = f(0)$,vậy $f(x)$ là 1 song ánh.

$P(0,0) \Rightarrow f(f(0)) = f(0)$ và từ tính chất song ánh của hàm $f(x)$ suy ra $f(0)=0$.

 

 

Vậy $f(f(x))=x$ và $P(0;f(x))$ cho ta $f(-x)=-f(x)$.

 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 10: Tìm tất cả các hàm thực thỏa mãn $(x + y)[f(x) - f(y)] = (x - y)f(x + y)$

 

Bài toán 11: Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho:

$$f(x + y) = f(x) + f(y) - af(x)f(y),\forall x,y \in \mathbb{R}.$$

 

 

Trong đó $a$ là hằng số.

 

 

@NLT:

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 13-04-2013 - 22:58

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#20
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
Bài toán 10: Tìm tất cả các hàm thực thỏa mãn $(x + y)[f(x) - f(y)] = (x - y)f(x + y)$

 

Bài toán 11: Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho:

$$f(x + y) = f(x) + f(y) - af(x)f(y),\forall x,y \in \mathbb{R}.$$

 

 

Trong đó $a$ là hằng số.

 

 

@NLT:

Spoiler

Spoiler

Spoiler

-------------------

Bài 10: Bài này có trên VMF rồi :) http://diendantoanho...-xyfx-fyx-yfxy/ và khi đặt $f(x)=x \cdot g(x)$ ta có dạng nữa http://diendantoanho...-xfx-yfyx-yfxy/

Spoiler

-------------------

Bài 11: Với $a=0$ ta được hàm tuyến tính kết hợp với liên tục tại 1 điểm quen thuộc được $f(x)=cx$

Với $a \neq 0$ đặt $g(x)=a \cdot f(x)$

Ta có $g(x+y)=g(x)+g(y)-g(x)g(y) \Leftrightarrow g(x+y)-1=-1+g(x)+g(y)-g(x) \cdot g(y)$

$\Leftrightarrow 1-g(x+y)=(1-g(x))(1-g(y))$

Đặt $h(x)=1-g(x)$ có $h(x+y)=h(x) \cdot h(y)$ là 1 hàm quen thuộc kết hợp với tính liên tục tại 1 điểm có $h(x)=0$ hoặc $h(x)=k^x,k >0$

Nên $f(x)=\dfrac{1}{a}$ hoặc $f(x)=\dfrac{1-k^x}{a}$

Vậy với $a=0$ thì $f(x)=cx$ thỏa, với $a \neq 0$ thì $f(x)=\dfrac{1}{a}$ và $f(x)=\dfrac{1-k^x}{a}$ thỏa >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 14-04-2013 - 21:02

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tuyển tập, sưu tầm.

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh