BĐT -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro
#61
Đã gửi 23-03-2018 - 18:12
#62
Đã gửi 23-03-2018 - 18:13
#63
Đã gửi 23-03-2018 - 18:16
#64
Đã gửi 23-03-2018 - 18:18
#65
Đã gửi 23-03-2018 - 18:20
#66
Đã gửi 23-03-2018 - 18:24
#67
Đã gửi 23-03-2018 - 18:25
#68
Đã gửi 23-03-2018 - 18:30
#69
Đã gửi 23-03-2018 - 18:32
#70
Đã gửi 23-03-2018 - 18:34
#71
Đã gửi 23-03-2018 - 18:35
#72
Đã gửi 23-03-2018 - 18:37
#73
Đã gửi 23-03-2018 - 18:39
#74
Đã gửi 23-03-2018 - 18:43
#75
Đã gửi 24-03-2018 - 09:46
${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + 2abc \le 2 + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2}b + 2{b^2}c + 2{c^2}a + 4abc \le 4 + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ca\left( {c - a} \right) + 4abc \le 4 + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\$
$\Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right) + 4{\rm{a}}bc \le 4 + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\$
Đặt $a+b+c=p$
$abc=r$
và chú ý ta có: $\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right) \le \sqrt {\frac{{4{{\left( {{p^2} - 3q} \right)}^3} - {{\left( {2{p^3} - 9pq + 27{\rm{r}}} \right)}^2}}}{{27}}} = \sqrt { - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108} $
Viết lại bất đẳng thức thành:
$3p - 3{\rm{r}} + 4{\rm{r}} + \sqrt { - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108} \le 4 + 2{p^2} - 12\\ \Leftrightarrow 2{p^2} - 3p - r - 8 \ge \sqrt { - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108} \\ \Leftrightarrow 4{p^4} - 12{p^3} - 4{p^2}r - 23{p^2} + 6p{\rm{r}} + 48p + {r^2} + 16{\rm{r}} + 64 \ge - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108\\ \Leftrightarrow 7{{\rm{r}}^2} + r\left( {{p^3} - {p^2} - 12p + 4} \right) + {p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43 \ge 0\\ \Leftrightarrow 7{{\rm{r}}^2} + {p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43 \ge r\left( { - {p^3} + {p^2} + 12p - 4} \right)$
Nếu $-p^3+p^2+12p-4 <= 0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu $-p^3+p^2+12p-4 >= 0$ có p<=3.84...
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:
$7{{\rm{r}}^2} + {p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43 \ge 2{\rm{r}}\sqrt {7\left( {{p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43} \right)}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$\Leftrightarrow 28\left( {{p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43} \right) \ge {\left( { - {p^3} + {p^2} + 12p - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {p - 3} \right)^2}\left( { - {p^4} - 4{p^3} + 36{p^2} + 136p + 132} \right) \ge 0$
Mà điều trên luôn đúng do p<= 3.84...
Có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 24-03-2018 - 09:48
- DOTOANNANG và VricRaet thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tuyển tập, sưu tầm.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các kỳ thi Olympic →
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp. →
Tổng hợp PTH và Dãy số qua các kì thi HSG 2014Bắt đầu bởi namcpnh, 14-11-2014 tuyển tập |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Chuyên đề toán THPT →
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP - LUYỆN THI ĐẠI HỌCBắt đầu bởi leminhansp, 23-07-2013 elip, hình học phẳng và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
PT Hàm -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.roBắt đầu bởi dark templar, 14-03-2013 tuyển tập, sưu tầm. |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh