Đến nội dung

Hình ảnh

BĐT -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

* * * * - 14 Bình chọn tuyển tập sưu tầm.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 74 trả lời

#61
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#62
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#63
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#64
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#65
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#66
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#67
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#68
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#69
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#70
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#71
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#72
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#73
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#74
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết



#75
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + 2abc \le 2 + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2}b + 2{b^2}c + 2{c^2}a + 4abc \le 4 + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ca\left( {c - a} \right) + 4abc \le 4 + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\$

$\Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right) + 4{\rm{a}}bc \le 4 + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\$

Đặt $a+b+c=p$

       $abc=r$

và chú ý ta có:  $\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right) \le \sqrt {\frac{{4{{\left( {{p^2} - 3q} \right)}^3} - {{\left( {2{p^3} - 9pq + 27{\rm{r}}} \right)}^2}}}{{27}}} = \sqrt { - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108} $

Viết lại bất đẳng thức thành:

$3p - 3{\rm{r}} + 4{\rm{r}} + \sqrt { - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108} \le 4 + 2{p^2} - 12\\ \Leftrightarrow 2{p^2} - 3p - r - 8 \ge \sqrt { - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108} \\ \Leftrightarrow 4{p^4} - 12{p^3} - 4{p^2}r - 23{p^2} + 6p{\rm{r}} + 48p + {r^2} + 16{\rm{r}} + 64 \ge - 4{p^3}r + 9{p^2} + 54p{\rm{r}} - 27{{\rm{r}}^2} - 108\\ \Leftrightarrow 7{{\rm{r}}^2} + r\left( {{p^3} - {p^2} - 12p + 4} \right) + {p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43 \ge 0\\ \Leftrightarrow 7{{\rm{r}}^2} + {p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43 \ge r\left( { - {p^3} + {p^2} + 12p - 4} \right)$

Nếu $-p^3+p^2+12p-4 <= 0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Nếu $-p^3+p^2+12p-4 >= 0$ có p<=3.84...

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:

$7{{\rm{r}}^2} + {p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43 \ge 2{\rm{r}}\sqrt {7\left( {{p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43} \right)}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\Leftrightarrow 28\left( {{p^4} - 3{p^3} - 8{p^2} + 12p + 43} \right) \ge {\left( { - {p^3} + {p^2} + 12p - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {p - 3} \right)^2}\left( { - {p^4} - 4{p^3} + 36{p^2} + 136p + 132} \right) \ge 0$

Mà điều trên luôn đúng do p<= 3.84...

Có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 24-03-2018 - 09:48






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tuyển tập, sưu tầm.

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh