Đến nội dung


Hình ảnh

Đa thức -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 14-03-2013 - 18:47

Thân chào tất cả các bạn :)

Thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau. Một lưu ý cho các bạn là các bài toán trong topic này hầu như chưa có lời giải,mong các bạn thông cảm.

Nào,chúng ta cùng bắt đầu với bài toán sau :

Bài toán 1: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho tồn tại duy nhất đa thức $Q \in \mathbb{R}[x]$ để $Q(0)=0$ và $x + Q(y + P(x)) = y + Q(x + P(y)) \quad \forall x,y$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 17-03-2013 - 11:07

Chúng ta tiếp tục tích trữ bài để giải nào :P

Bài toán 2: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(0) = 0$ và $\left\lfloor {P\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor } \right\rfloor + n = 4\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-03-2013 - 11:07

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-03-2013 - 21:17

Bài toán 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 2 \right) = 2\\P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)\end{array} \right.$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 23-03-2013 - 12:29

Bài toán 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 2 \right) = 2\\P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)\end{array} \right.$

Không biết làm kiểu này có đúng không :)
Cho $x=0 \Rightarrow P(0)=0$
Cho $x=1 \Rightarrow P(1)=2P(1) \Rightarrow P(1)=0$
Cho $x=-1 \Rightarrow P(1)=2P(-1) \Rightarrow P(-1)=0$
Khi ấy $P(x)=x(x^2-1)G(x)$
Ta có $G(x^2)=x^2G(x)$
Cho $x=0 \Rightarrow G(0)=0$
Được $P(x)=x^2(x^2-1)H(x)$
Ta có $H(x^2)=H(x)=const$
Mà $P(2)=2$ nên $P(x)=\dfrac{x^2(x^2-1)}{6}$
Thử lại thấy thỏa :D


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4347 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 25-03-2013 - 22:01


Bài toán 1: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho tồn tại duy nhất đa thức $Q \in \mathbb{R}[x]$ để $Q(0)=0$ và $x + Q(y + P(x)) = y + Q(x + P(y)) \quad \forall x,y$.

Bài toán 1:
\[
x + Q\left( {y + P\left( x \right)} \right) = y + Q\left( {x + P\left( y \right)} \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
TH1: $P(x)=c$ với $c$ là hằng số thực. Khi đó, từ (1), ta có:
\[
x + Q\left( {y + c} \right) = y + Q\left( {x + c} \right),\forall x,y \in R,\left( 2 \right)
\]
Thay $y$ bởi $0$, (2) thành \[
\begin{array}{l}
 x + Q\left( c \right) = Q\left( {x + c} \right) \Rightarrow Q\left( x \right) = x - c + Q\left( c \right) \\
 Q\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow Q\left( c \right) = c \Rightarrow Q\left( x \right) = x,\forall x \in R \\
 \end{array}
\]
TH2: $\deg P(x) \ge 1$. Thay $y$ bởi $0$, (1) thành:\[
x + Q\left( {P\left( x \right)} \right) = Q\left( {x + P\left( 0 \right)} \right),\forall x \in R,\left( 3 \right)
\]
Dễ thấy $\deg Q \ge 1$. So sánh bậc 2 vế:\[
\begin{array}{l}
 \left. \begin{array}{l}
 \deg VT\left( 3 \right) = \max \left\{ {1,\deg P.\deg Q} \right\} \\
 \deg VP\left( 3 \right) = \deg Q \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow \deg P.\deg Q = \deg Q \\
  \Rightarrow \deg P = 1 \Rightarrow P\left( x \right) = ax + b,\left( {a \ne 0} \right) \\
 \end{array}
\]
Viết lại (1):
\[
x + Q\left( {y + ax + b} \right) = y + Q\left( {x + ay + b} \right),\forall x,y \in R,\left( 4 \right)
\]
Nếu $a=1$ thì từ (4), dễ thấy $x=y\,\forall x,y \in R$: vô lý nên $a \ne 1$.
Thay $y$ bởi $0$, từ (4), ta được:\[
x + Q\left( {ax + b} \right) = Q\left( {x + b} \right), (5)
\]
Đặt $Q\left( x \right) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  + ... + a_0 ,\left( {a_n  \ne 0} \right)$.
Nếu $n>1$, so sánh hạng tử bậc cao nhất trong (5), ta có: $a^na_n=a_n \Rightarrow a=1 \Rightarrow P(x)=x+b$.
(4) trở thành:\[
x + Q\left( {y + x + b} \right) = y + Q\left( {x + y + b} \right) \Rightarrow x = y,\forall x,y \in R
\]
Vô lý nên $\deg Q=1$. Mà $Q(0)=0 \Rightarrow Q(x)=kx,(k \ne 0)$. Thay vào (4), ta có:\[
\begin{array}{l}
 x + ky + akx + kb = y + kx + aky + kb \\
  \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {1 - k + ak} \right) = 0,\forall x,y \in R \\
  \Leftrightarrow 1 - k + ak = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{a - 1}} \\
 \end{array}
\]
Kết luận:\[
\left( {P\left( x \right);Q\left( x \right)} \right) = \left( {c;x} \right);\left( {ax + b;\frac{x}{{a - 1}}} \right),\left( {a \ne 1} \right)
\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-03-2013 - 22:52

Bài toán 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}P\left( 2 \right) = 2\\P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)\end{array} \right.$


Ta có: $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$

$\deg P(x)=n; \deg P(x^2)=2n$

Do đó $2n=n+4 \Leftrightarrow n=4$

$P(0)=0$

$P(1)=0$

$P(-1)=0$

Và $P(x)=P(-x)$

Do đó $P(x)=ax^2(x-1)(x+1)=ax^2(x^2-1)\Rightarrow a=\frac{1}{6}$

Vậy đa thức cần tìm là $P(x)=\frac{1}{6}(x^4-x^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-03-2013 - 22:55

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#7 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 31-03-2013 - 18:49

Nhiệt liệt hoan nghênh sự tham gia của Kiên ,Hân và Idie9xx :))

 

Ta tiếp tục với 2 bài toán mới :

 

Bài toán 4: Tìm tât cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ thỏa $P(x).P(x + 1) = P({x^2} + 2)\;\;\forall x \in \mathbb{R}$.

 

Bài toán 5: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{C}[x]$ thỏa $P({x^2}) = P(x).P(x + 1)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 18:50

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#8 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-03-2013 - 21:49

Nhiệt liệt hoan nghênh sự tham gia của Kiên ,Hân và Idie9xx :))

 

Ta tiếp tục với 2 bài toán mới :

 

Bài toán 4: Tìm tât cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ thỏa $P(x).P(x + 1) = P({x^2} + 2)\;\;\forall x \in \mathbb{R}$.

Bài này có ở đây.


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#9 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 07-04-2013 - 17:27

Đề mới :

 

Bài toán 6: Tìm tất cả các đa thức $P $ sao cho $P(x,y) = P(x + 1,y + 1)$.

 

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu $a,b$ là 2 nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-04-2013 - 21:49

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 13-04-2013 - 20:53

Đề mới:

 

Bài toán 8:  Với mỗi đa thức bậc hai $p(x)$,chứng minh rằng tồn tại các đa thức $q(x)$ và $r(x)$ sao cho $p(x)p(x+1)=q(r(x))$.

 

Bài toán 9: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P(P(x))P({x^2} - 1) = P{(3x)^3} - P(x)$

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 14-04-2013 - 16:44

Đề mới :

 

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu $a,b$ là 2 nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$ thì $ab$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$.

Gọi $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ là các nghiệm đa thức $P(x)=x^{4}+x^{3}-1$

 

Khi đó theo định lí viet thì 

 

$\sum x_{i}=-1$

 

$\sum x_{i}x_{j}=0$

 

$\sum x_{i}x_{j}x_{k}=0$

 

$x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=-1$

 

Xét đa thức $Q(x)=(x-x_{1}x_{2})(x-x_{2}x_{3})(x-x_{1}x_{3})(x-x_{2}x_{4})(x-x_{1}x_{4})(x-x_{3}x_{4})$

 

Khai triển đa thức này và sử dụng các đẳng thức trên ta có ngay 

 

$Q(x)=x^{6}+x^{4}+x^{3}-x^{2}-1$.

 

Vậy nếu $a,b$ là các nghiệm đa thức $P(x)$ thì $ab$ là nghiệm đa thức $Q(x)$



#12 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 14-04-2013 - 16:56

Đề mới:

 

Bài toán 9: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P(P(x))P({x^2} - 1) = P{(3x)^3} - P(x)$

Nếu $P(x)$ là hằng số :$P(x)=a$ suy ra $a^{2}=a^{3}-a$ 

 

$\Leftrightarrow a=0$ hoặc $a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

 

Nếu P khác hằng số 

 

Giả sử $n=degP(x)$

 

Khi đó từ đề bài ta có $n^{2}+2n=3n\Rightarrow n=1$ nên $P(x)=ax+b$

 

Thay vào và đồng nhất ta có $a=0$ nên loại.

 

Vậy $P(x)$=0 hoặc $P(x)=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$



#13 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 20-04-2013 - 21:26

Chúng ta còn các bài toán sau chưa giải quyết,mong các bạn lưu ý. :)

 

Bài toán 2: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(0) = 0$ và $\left\lfloor {P\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor } \right\rfloor + n = 4\left\lfloor {P(n)} \right\rfloor \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

 

Bài toán 5: Tìm tất cả các đa thức $P \in \mathbb{C}[x]$ thỏa $P({x^2}) = P(x).P(x + 1)$.

 

Bài toán 6: Tìm tất cả các đa thức $P $ sao cho $P(x,y) = P(x + 1,y + 1)$.

 

Bài toán 8:  Với mỗi đa thức bậc hai $p(x)$,chứng minh rằng tồn tại các đa thức $q(x)$ và $r(x)$ sao cho $p(x)p(x+1)=q(r(x))$.

 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 10: Xác định tất cả các đa thức $P \in \mathbb{Q}[x]$ sao cho với mọi $|x|<1$ thì $P(x) = P\left( {\frac{{\sqrt {3 - 3{x^2}}  - x}}{2}} \right)$

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 21-04-2013 - 11:14

Chúng ta còn các bài toán sau chưa giải quyết,mong các bạn lưu ý. :)

 


 


 


 


 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 10: Xác định tất cả các đa thức $P \in \mathbb{Q}[x]$ sao cho với mọi $|x|<1$ thì $P(x) = P\left( {\frac{{\sqrt {3 - 3{x^2}}  - x}}{2}} \right)$

Ủng hộ topic của anh  dark templar :icon6:

 

Cho $x=0$ vào giả thiết ta có ngay $P(0)=P(\frac{\sqrt{3}}{2})$ 

 

Do đó $P(x)-P(0)\vdots x,P(x)-P(0)\vdots (x-\frac{\sqrt{3}}{2})$

 

Đa thức $P(x)-P(0)$ có ngiệm $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và có hệ số hữu tỉ nên cũng có nghiệm $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Vậy $P(x)-P(0)=x(x-\frac{\sqrt{3}}{2})(x+\frac{\sqrt{3}}{2}).P_{1}(x)$

 

$\Leftrightarrow P(x)=P(0)+(3x-4x^{3})P_{1}(x)$ với $P_{1}(x)\in Q[x]$  (1)

 

chú ý rằng $3(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})-4(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})^{3}=3x-4x^{3}$

 

Thay $x$ bởi $\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2}$ vào (1) ta có 

 

$P_{1}(x)=P_{1}(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})$ và deg$P_{1}$=deg$P$-3

 

Từ đó dẫn tới $P(x)=a_{0}+a_{1}(3x-4x^{3})+...+(3x-4x^{3})^{k}P_{k}(x)$ với $degP_{k}\leq 2$

 

Thay vào ta lại có $P_{k}(x)=P_{k}(\frac{-x+\sqrt{3-x^{2}}}{2})$ nếu $P_{k}(x)$ khác hằng số thì ta lại có 

 

$P_{k}(x)-P_{k}(0)\vdots (3x-4x^{3})$ vô lí vì bậc của nó ko vượt quá 2.

 

Vậy $P(x)=\sum a_{i}(3x-4x^{3})^{i}$



#15 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-04-2013 - 13:21

Tạm thời mình đang tiếp tục tổng hợp và dịch đề nên có lẽ sẽ không có đề mới trong 1 thời gian.Các bạn hãy tiếp tục giải các bài toán cồn tồn đọng mà mình đã liệt kê ở post #13 nhé. :)


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#16 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4347 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 03-05-2013 - 20:11

Làm thử bài 6:

Ta xét bài toán tổng quát hơn: Với 2 số thực $a,b$ cho trước, tìm đa thức thực $P(x,y)$ thỏa

$$P(x+a,y+b)=P(x,y) \quad (1)$$

TH1: Nếu $b \ne 0$. Đặt $P\left( {x,y} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y} \right)$\[
\begin{array}{l}
  \Rightarrow P\left( {x + a,y + b} \right) = R\left( {x + a - \frac{a}{b}\left( {y + b} \right),y + b} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y + b} \right) \\
  \Rightarrow R\left( {x - \frac{a}{b}y,y} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y + b} \right) \\
 x: = x - \frac{a}{b}y \Rightarrow R\left( {x,y} \right) = R\left( {x,y + b} \right) = ... = R\left( {x,y + nb} \right),\forall n \in N \\
 \end{array}
\]
Đặt $Q_x \left( y \right) = R\left( {x,y} \right)$.

\[
 \Rightarrow Q_x \left( y \right) = Q_x \left( {y + b} \right) = Q_x \left( {y + 2b} \right) = ... = Q_x \left( {y + nb} \right),\forall n \in N
\]
$Q_x$ là 1 đa thức theo $y$. Chọn $n$ đủ lớn sao cho $n>\deg Q_x \Rightarrow Q_x(y) \equiv c \in R$.

Do đó, $R(x,y)$ là đa thức chỉ theo $x$, tức $R(x,y)=T(x)\,\forall x,y \in R$\[
 \Rightarrow P\left( {x,y} \right) = R\left( {x - \frac{a}{b}y,y} \right) = T\left( {x - \frac{a}{b}y} \right) = T\left( {bx - ay} \right)
\]
Do đó, $P(x,y)=T(bx-ay)$ với $T$ là 1 đa thức đơn biến bất kì.

TH2: $b=0$. Khi đó, giả thiết thành $P(x+a,y)=P(x,y)$. Lý luận tương tự TH1, ta cũng có $P(x,y)$ là đa thức đơn biến $y$.

Thử lại:...


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#17 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 29-05-2013 - 19:39

Đề mới nào :)

 

Bài toán 11: Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ với $P(x)=x^5-5x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$.Giả sử các nghiệm của $P(x)$ là $x_5 \le x_4 \le x_3 \le x_2 \le x_1$ và $x_5=-2\sqrt{2}$,tìm $a_3;a_4;a_5$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-06-2013 - 08:58
Chèn link !

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 29-05-2013 - 22:37



Đề mới nào :)

 

Bài toán 11: Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ với $P(x)=x^5-5x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$.Giả sử các nghiệm của $P(x)$ là $x_5 \le x_4 \le x_3 \le x_2 \le x_1$ và $x_5=-2\sqrt{2}$,tìm $a_3;a_4;a_5$.

Theo định lý Vi-ét ta có

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0$

$\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\sqrt{2}$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}+x_{5}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})=-5$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=3$

Hay là $3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{2}=8(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})$

$\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}+(x_{1}-x_{3})^{2}+(x_{1}-x_{4})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{4})^{2}+(x_{3}-x_{4})^{2}=0$

$\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}= \frac{1}{\sqrt{2}}$

Từ đó dễ dàng tính được (cũng bằng Vi-ét) $a_{3}=5\sqrt{2}, a_{4}=\frac{-15}{4}, a_{5}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 29-05-2013 - 22:44


#19 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 02-06-2013 - 09:38



Đề mới nào :)

 

Bài toán 11: Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ với $P(x)=x^5-5x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$.Giả sử các nghiệm của $P(x)$ là $x_5 \le x_4 \le x_3 \le x_2 \le x_1$ và $x_5=-2\sqrt{2}$,tìm $a_3;a_4;a_5$.

Lời giải bài toán 11:

Đặt $P(x)=\left(x+2\sqrt{2} \right)Q(x)$,với $Q(x)=x^4-2\sqrt{2}x^3+3x^2+b_1x+b_0$ có 4 nghiệm thực,suy ra $Q'(x)$ sẽ có 3 nghiệm thực.

 

Lại có $Q''(x)=12\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \implies Q'(x)=4\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3+c$.

 

Nhưng do $Q'(x)$ chỉ có 3 nghiệm thực nên $c=0$,hay $Q'(x)=4\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 \implies Q(x)=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4+d$.

 

Lập luận tương tự cũng cho ta $d=0$,tức là $Q(x)=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4$.

 

Vậy $P(x)=\left(x+2\sqrt{2} \right)\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4$.

 

Khai triển ra ,ta sẽ tìm được kết quả $a_3;a_4;a_5$ như trên.

 

**********

Đề mới:

 

Bài toán 12: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi PT $2P(x)P''(x)=\left(P'(x) \right)^2$ sẽ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Bài toán 13: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P\left(F(x) \right)=F\left(P(x) \right);P(0)=0$ với $F(x)$ là 1 đa thức cho trước thỏa mãn $F(x)>x \quad \forall x \ge 0$.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#20 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-06-2013 - 11:20

Bài toán 12: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có 3 nghiệm thực phân biệt.Hỏi PT $2P(x)P''(x)=\left(P'(x) \right)^2$ sẽ có bao nhiêu nghiệm thực ?

 

Bài toán 13: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho $P\left(F(x) \right)=F\left(P(x) \right);P(0)=0$ với $F(x)$ là 1 đa thức cho trước thỏa mãn $F(x)>x \quad \forall x \ge 0$.

Lời giải bài toán 12: 

Câu trả lời là $2$ nghiệm.

 

PT $ p(x) = 4(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)(3ax+b)-(3ax^{2}+2bx+c)^{2} $ là 1 đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là số dương.

 

Do $ p'(x)=12a*(ax^{3}+bx^{2}+cx+d) $ có 3 nghiệm trùng với $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

 

Nên $p(x)<0$ tại các giá trị nghiệm trên.

 

1 đa thức bậc $n$ chẵn có tối đa $n-1$ cực trị phân biệt và mang giá trị âm thì sẽ có chính xác $2$ nghiệm,nằm lần lượt bên trái và bên phải của điểm cực trị.

 

Suy ra $p(x)$ có $2$ nghiệm phân biệt.

 

Lời giải bài toán 13:

Đặt $ M =\{x\in\mathbb{R}|P(x) = x\} $.$M$ là 1 tập không rỗng,giả sử là nó hữu hạn và $m=\max M$ thì:

$ P(F(m)) = F(P(m)) = F(m) $

 

Do đó $ m < F(m)\in M $,mâu thuẫn.

 

Suy ra $P(x)=x$ với các giá trị thực vô hạn của $x$,vậy thì $P(x)=x;\forall x$ do $P(x)$ là 1 đa thức.

 

==========

Đề mới:

 

Bài toán 14: Có tồn tại 1 dãy số thực và khác không $a_1;a_2;...;a_{n}$ thỏa với mỗi $n \in \mathbb{N}$ thì đa thức $ a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} $ có đúng $n$ nghiệm trên $\mathbb{R}$.

 

Bài toán 15: Tìm tất cả các nghiệm đa thức của PT hàm $ f(x)f(x+1)=f(x^2+x+1) $.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-06-2013 - 11:22

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh